高斯—赛德尔迭代法考试比较多,所以考虑再三,还是单独提取出来独立一篇,方便查阅,突出重点。

首先举例引入:

通过手动求解下面的线性方程组得到精确解:

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_迭代

再用高斯—赛德尔迭代法求解比较:

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_线性方程组_02

本人拙见,将每一步迭代出来的最新结果充分利用,正如上图所说,高斯—赛德尔迭代法认为最新计算出来的分量可能比旧的分量要好些。事实上是否如此,另当别论,这种思想也有其道理。

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一般情况:

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对于如下线性方程组:

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_线性方程组_03

经过变形得到如下形式(变形方程组):

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_迭代法_04

根据上面的举例,可以得到下面的迭代公式:(仔细看,会发现很妙!)

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_其他_05

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高斯—赛德尔迭代法的矩阵形式:

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首先将矩阵分裂:

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_迭代_06

下面的迭代推导与上面的迭代公式异曲同工:

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_迭代法_07

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收敛问题:

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引入收敛问题:

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_其他_08

Gauss-Seidel迭代求解线性方程组_线性方程组_09

有关收敛问题,有专题博文讲解:迭代法求解线性方程组问题总结