迭代法

迭代法（Iteration）是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，一般用于数值计算。累加、累乘都是迭代算法的基础应用。典型案例：牛顿迭代法”。

步骤：

  • 确定迭代模型：分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型；
  • 建立迭代关系式
  • 对迭代过程进行控制

经典案例：

示例： 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34

function fibonacci(n) {
    let a = 1, b = 1, c = 1
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        c = a + b
        a = b
        b = c
    }  
    return c
}

对于斐波那契数列，当n趋于无穷时，数列最后的两项的商 (xn-1/xn) 趋于黄金分割数0.618

示例： 最大公约数，采用辗转相除法（欧几里得算法）

定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数，和两数相除余数的最大公约数。

​​gcd(a, b) = gcd(a, a mod b)​​

function gcd (a, b) {
    if (a < b) {
        [a, b] = [b, a]
    }
    let temp
    while (b > 0) {
        temp = a % b
        a = b
        b = temp
    }
    return a
}

示例： 牛顿迭代法

一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，其比一般的迭代法有更高的收敛速度。

算法--迭代法_牛顿迭代法

首先，选择一个接近函数 f(x) 零点的点，如图为
算法--迭代法_javascript算法_02
计算相应的切线斜率
算法--迭代法_迭代法_03 算法--迭代法_javascript算法_04
得到如下方式
算法--迭代法_算法_05
和 x 轴的交点坐标，也就是下面方式的解：
算法--迭代法_迭代法_06
通常 算法--迭代法_javascript算法_07 会比 算法--迭代法_javascript算法_08

算法--迭代法_求根号x的近似值_09
例： 求 算法--迭代法_求根号x的近似值_10

function f(a, b, c, d) {
  let x0, x1 = 1, f0, f1
  do {
    x0 = x1
    f0 = a * Math.pow(x0, 3) + b * Math.pow(x0, 2) + c * x0 + d
    // 求导后函数
    f1 = 3 * a * Math.pow(x0, 2) + 2 * b * x0 + c
    x1 = x0 - f0/f1
  } while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4)) 
  return x1
}

例：求根号x的近似值
算法--迭代法_javascript算法_11
我想求根号2等于多少，我猜测值为4（首先随便猜一个近似值x），根据牛顿迭代定律：算法--迭代法_算法_12
算法--迭代法_求根号x的近似值_13

function mySqrt (num) {
    let x0, x1 = 4, f0, f1
    do {
        x0 = x1
        f0 = Math.pow(x0, 2) - num
        // 求导后函数
        f1 = 2 * x0
        x1 = x0 - f0/f1  
    } while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4)) 
    return x1
}

引深：

物体直线运动时，路程 s 与时间 t 的函数关系为 算法--迭代法_求根号x的近似值_14 ，且 算法--迭代法_算法_15 在 算法--迭代法_求根号x的近似值_16 时的导数 算法--迭代法_求根号x的近似值_17 存在；则在物理上，算法--迭代法_求根号x的近似值_17 表示物体在时刻 $ t_0$ 的瞬时速度 算法--迭代法_求根号x的近似值_19，而算法--迭代法_迭代法_20 为加速度，即时间 算法--迭代法_求根号x的近似值_21