迭代法 pythone 牛顿拉夫森迭代法

newton_method 牛顿迭代法求解

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上*似求解方程的方法。

• 产生背景
  
  多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的*似根就显得特别重要。方法使用函数 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附*具有*方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
• 牛顿迭代公式 设 $ r $ 是 $ f(x)=0 $ 的根， 选取 $ x_0 $ 作为 $ r $ 的初始*似值， 过点 $ (x_0,f(x_0)) $ 做曲线 $ y= f(x) $ 的切线 $ L $ ， $ L: y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) $ ， 则 $ L $ 与 $ X $ 轴交点的横坐标 $ X_1=X_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} $ ， 称 $ X_1 $为 $ r $ 的一次*似值。 过点 $ (x_1,f(x_1)) $ 做曲线 $ y= f(x) $ 的切线， 并求该切线与 $ x $ 轴交点的横坐标 ， 称 $ X_2=X_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} $ 为 $ r $ 的二次*似值。 重复以上过程，得 $ r $ 的*似值序列， 其中， $ X_{n+1}=X_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ 称为 $ r $ 的 $ n+1 $ 次*似值，上式称为牛顿迭代公式。 用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程 $ f(x）=0 $ 线性化的一种*似方法。 把 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某邻域内展开成泰勒级数

$ f(x)=f(x_0)

+f'(x_0)(x-x_0)

+\frac{f"(x_0)(x-x_0)^2}{2!}

+\cdots

+\frac{f^{(n)}(x_0) {(x-x_0)}^n }{n!}

+R_n(x)

$

• ，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

$ f(x)=f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0) $   ，

• 
  
  以此作为非线性方程 $ f(x) =0 $ 的*似方程，
  
  若 $ f'(x_0) \neq 0 $，则其解为 $ x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} $ ，
  
  这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式： $ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ 。
  
  
  已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻*区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有*方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
  迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

• 1、确定迭代变量
  
  在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
• 2、建立迭代关系式
  
  所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
• 3、对迭代过程进行控制
  
  在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。
• 算法

• def newton(    


function: RealFunc,   -- 函数  $ f(x)  $     


derivative: RealFunc, -- 函数  $ f'(x)  $   


starting_int: int,    -- 初始值   


) -> float:

代码

[newton_method.py]{..\src\arithmetic_analysis\newton_method.py}

代码

[newton_method.py]{..\src\arithmetic_analysis\newton_method.py}

代码

[newton_method.py]{..\src\arithmetic_analysis\newton_method.py}

"""
Prepare
   1. sys.path 中增加 TheAlgorithms\src 子模块
"""
import sys
sys.path.append('E:\dev\AI\TheAlgorithms\src')

** 案例一

>>>newton(lambda x: x ** 3 - 2 * x - 5, lambda x: 3 * x ** 2 - 2, 3)
2.0945514815423474
>>> newton(lambda x: x ** 3 - 1, lambda x: 3 * x ** 2, -2)
1.0
>>> newton(lambda x: x ** 3 - 1, lambda x: 3 * x ** 2, -4)
1.0000000000000102
>>> import math
>>> newton(math.sin, math.cos, 1)
0.0
>>> newton(math.sin, math.cos, 2)
3.141592653589793
>>> newton(math.cos, lambda x: -math.sin(x), 2)
1.5707963267948966

from arithmetic_analysis.newton_method import  newton
import math
"""
"""

print(newton(lambda x: x ** 3 - 2 * x - 5, lambda x: 3 * x ** 2 - 2, 3))
# 2.0945514815423474

print(newton(lambda x: x ** 3 - 1, lambda x: 3 * x ** 2, -2))
# 1.0
print(newton(lambda x: x ** 3 - 1, lambda x: 3 * x ** 2, -4))
# 1.0000000000000102
print(newton(math.sin, math.cos, 1))
# 0.0
print(newton(math.sin, math.cos, 2))
# 3.141592653589793
print(newton(math.cos, lambda x: -math.sin(x), 2))
# 1.5707963267948966

2.0945514815423474
1.0
1.0000000000000102
0.0
3.141592653589793
1.5707963267948966

** 案例二

def f(x: float) -> float:
def f1(x: float) -> float: # $ f_1= f' $
求 newton(

function: RealFunc, -- 函数 $ f(x) $

derivative: RealFunc, -- 函数 $ f'(x) $

starting_int: int, -- 初始值

) -> float:

from arithmetic_analysis.newton_method import  newton
def f(x: float) -> float:
    return (x ** 3) - (2 * x) - 5


def f1(x: float) -> float:
    return 3 * (x ** 2) - 2

print(newton(f, f1, 3))

2.0945514815423474