终于到来的DFT

前面写了那么多的铺垫，都是为了DFT而写，这是我的初衷，今天这篇文章终于到来了。

最重要的铺垫性博文：DFT的准备（一）（对离散序列的傅里叶分析大总结）

DFT的准备（二）（对傅里叶变换的采样）

好了，废话不多说，上今天的内容吧。

---

---

离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列，而与有限长序列相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列，二者之间的关系是：

                          (1)

                                       (2)

 

周期序列的离散傅里叶级数(DFS)的系数本身是一个周期为N的周期序列。

为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与的一个周期相对应的有限长序列。

这个有限长序列称为离散傅里叶变换（DFT）。

因此DFT，与DFS系数有如下的关系：

                           (3)

                                        (4)

我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：

                                              (5)

                                       (6)

在上式中，                                     (7)

由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：

分析式：

                       （8）

合成式：

                （9）

也就是说，这意味着一个事实，对于在区间之外的k，等于0。

---

---

综上内容，这里有一个简短的总结：

DFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。

这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。

 

---

---

我们一起来理解下这段话：

对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。

如同DFS一样，DFT的等于周期序列的傅里叶变换的采样，并且若对于在区间之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。

在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为（9）式只需要这些值。

关于最后一段话，推荐一篇博文，大概能明白些什么。

一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系

DFS和DFT事实上是一样的，DFT的定义式（8）和（9）后面所加的取值区间的限制的含义是我只对这段区间感兴趣，这样计算机就能够处理，因为是有限长区间的。

但这并没有改变其固有的周期性，这看似很棘手，但是为了避免麻烦，还是将这段区间之外的部分忽略掉。