F - Valid payments(进制&dp)
思路
令 Z = Y − X Z=Y-X Z=Y−X
X = ∑ i = 1 n x i a i , Y = ∑ i − 1 n y i a i , Z = ∑ i = 1 n z i a i X=\sum\limits_{i=1}^nx_ia_i,Y=\sum\limits_{i-1}^n y_ia_i,Z=\sum\limits_{i=1}^n z_ia_i X=i=1∑nxiai,Y=i−1∑nyiai,Z=i=1∑nziai
依题意 y i , z i y_i,z_i yi,zi不能同时 > 0 >0 >0。
注意到 X X X是确定的，可以被唯一表示。
所以我们来考虑 Z Z Z的组成情况，因为 Z Z Z确定了， Y Y Y就确定了。
具体来说：当确定 z i z_i zi和该位是否进位， y i y_i yi就确定了。
因为 z i + w + x i = y i z_i+w+x_i=y_i zi+w+xi=yi， w w w表示第 i − 1 i-1 i−1位是否进位，进位为 1 1 1，否则为 0 0 0。
即 Y Y Y的方案对应 Z Z Z的方案。
令 d p [ i ] [ 0 / 1 ] dp[i][0/1] dp[i][0/1]表示第 i i i位不进位和进位的方案数。
1.当 z i z_i zi对应的第 i i i位不进位时，因为 x i + 1 < m x i + 1 x_{i+1}<mx_{i+1} xi+1<mxi+1，所以当 z i + 1 = 0 z_{i+1}=0 zi+1=0 即第 i + 1 i+1 i+1位也可以不进位。
即： d p [ i + 1 ] [ 0 ] = d p [ i ] [ 0 ] dp[i+1][0]=dp[i][0] dp[i+1][0]=dp[i][0]。
2.类似地，有 d p [ i + 1 ] [ 1 ] + = d p [ i ] [ 1 ] dp[i+1][1]+=dp[i][1] dp[i+1][1]+=dp[i][1]
3.当 x i + 1 ≠ 0 x_{i+1}\ne 0 xi+1=0时，显然第 i i i位不进位，第 i + 1 i+1 i+1位也可以 进位，只要 z i = m x i + 1 − x i + 1 z_i=mx_{i+1}-x_{i+1} zi=mxi+1−xi+1，因为 z i + 1 < m x i + 1 z_{i+1}<mx_{i+1} zi+1<mxi+1。
即： i f ( x x [ i + 1 ] ) d p [ i + 1 ] [ 1 ] = d p [ i ] [ 0 ] if(xx[i+1])\ dp[i+1][1]=dp[i][0] if(xx[i+1]) dp[i+1][1]=dp[i][0]
4.类似地，有 i f ( x x [ i + 1 ] + 1 ! = m x [ i + 1 ] ) d p [ i + 1 ] [ 0 ] + = d p [ i ] [ 1 ] if(xx[i+1]+1!=mx[i+1]) \ dp[i+1][0]+=dp[i][1] if(xx[i+1]+1!=mx[i+1]) dp[i+1][0]+=dp[i][1]。
因为 m x n mx_{n} mxn不存在，所以第 n n n位不可能进位，所以 a n s = d p [ n ] [ 0 ] ans=dp[n][0] ans=dp[n][0]。
时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
代码
// Problem: F - Valid payments
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 182
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc182/tasks/abc182_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2021-03-05 22:23:55
// --------by Herio--------
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=55,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)
void Print(int *a,int n){
for(int i=1;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("%d\n",a[n]);
}
ll a[N],dp[N][2],xx[N],mx[N];
int main(){
int n;ll x;scanf("%d%lld",&n,&x);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=1;i<n;i++) mx[i]=a[i+1]/a[i];
ll t= x;
for(int i=n;i;i--){
xx[i]=t/a[i]; //xx[i]<mx[i]
t%=a[i];
}
dp[1][0]=1;
if(xx[1]) dp[1][1]=1;
for(int i=1;i<n;i++){
dp[i+1][0]=dp[i][0];
if(xx[i+1]) dp[i+1][1]=dp[i][0];
dp[i+1][1]+=dp[i][1];
if(xx[i+1]+1!=mx[i+1]) dp[i+1][0]+=dp[i][1];
}
printf("%lld\n",dp[n][0]);
return 0;
}
