题目描述
每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
方法一：数学归纳法
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人 继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
| 第一轮的标号 | 第二轮的标号 |
|---|---|
| k | 0 |
| k+1 | 1 |
| k+2 | 2 |
| … | … |
| k-2 | n-2 |
| k-1 | n-1 |
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情 况的解吗？！！胜利者在本轮的编号为x，则在上轮的编号x’为：x’=(x+k)%n。
令f[i,m]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n,m]。
递推公式
f(1,m) = 0;---------------------(n=1)
f(n,m)=(f(n-1,m)+k)%n;;----(n>1)
因为k=m%n，得出
f(1,m) = 0;----------------------(n=1)
f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n;----(n>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1到n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。
class Solution {
public:
int LastRemaining_Solution(int n, int m)
{
if(n==0)
return -1;
if(n==1)
return 0;
return (LastRemaining_Solution(n-1, m)+m)%n;
}
};
该方法对应的循环解法为：
class Solution {
public:
int LastRemaining_Solution(int n, int m)
{
if(n<1||m<1)return -1;
int s=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
s=(s+m)%i;
return s;
}
};
方法二：模拟环
class Solution {
public:
int LastRemaining_Solution(int n, int m)
{
if(n<1||m<1) return -1;
vector<int>a;
for(int i=0;i<n;i++)
a.push_back(1);
int i=-1,count=n,step=0;
while(count>0) //跳出循环时，最后一个元素也被设置为-1了
{
i++;
if(i>=n) i=0;
if(a[i]==-1) continue; //跳过已经删除的元素
step++; //记录已走过多少步
if(step==m) //找到待删除的对象
{
a[i]=-1;
step=0;
count--;
}
}
return i; //返回跳出循环时的i为最后一个被设置为-1的元素
}
};
