机器学习数学基础Datawhale-8月（4）笔记

机器学习数学基础Datawhale-8月（4）

事先声明：本文中未作说明的图片均出自《2022考研数学张宇基础30讲》

一元函数微分学的几何应用

极值和最值

极值是对于局部的，最值是对于定义域的

间断点可以是极值点

单调性和极值的判别

单调性的判别

若函数f(x)在某一区间上的导数<0，则在该区间上严格单调递减

若函数f(x)在某一区间上的导数>0，则在该区间上严格单调递增

一阶可导点是极值点的必要条件

设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f‘(x0)=0

判别极值的充分条件

• 第一充分条件（邻域中，点左右的单调性）

• 第二充分条件 （二阶导数）

• 第三充分条件

n为奇数，不取极值，该点为拐点^[1]

凹凸性和拐点

凹凸性

（数学分析类教材称a为（下）凸函数，b为凹（上凸）函数）

• Jensen不等式^[2]

图中所指凸函数即为图1-5-1中的a

拐点

连续曲线的凹弧和凸弧的分界点

凹凸性和拐点的判别

凹凸性

函数f(x)在某一区间上二阶可导

在该区间上二阶导数>0，则在该区间上图形是（下凸）凹的

在该区间上二阶导数<0，则在该区间上图形是（上凸）凸的

二阶可导点是拐点的必要条件

设f''(x)存在，且点（x0,f(x0)）为曲线上的拐点，则f''(x0)=0

判别拐点的充分条件

• 第一充分条件（去心邻域中，点左右二阶导数的符号相反）

• 第二充分条件（三阶导数）

  设f(x)在x=x0的某邻域内三阶可导，且f''(x0)=0，f'''(x0)≠0，则(x0,f(x0))为拐点

• 第三充分条件^[1:1]

渐近线

斜渐近线

垂直渐近线

最值或取值范围

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1. 第三充分条件 ↩︎ ↩︎

2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/39315786 ↩︎