重谈MST及Kruskal算法

当初学MST（Minimum Spanning Tree）最小生成树的时候，还是懵懵懂懂，不求慎解。所以只记下了模板，狂拍了几道板子题和板子题加一点点变形的题目。所以今天来温故而知新一下。

MST的一些性质

这里有一个定理，就是MST一定包含全图权值最小的边。用反证法可证明这个定理。如果有一条边不在MST中但是比MST的所有边权更小，那么这条边可以和MST的一条路径一起构成一个环，用这条边任意替换环里的一条边，可以得到一个更M的MST。

证毕。

所以放出一个大推论（哦！好难）

给定一张无向图\(G=(V,E)\)，从\(E\)中选出\(k<n-1\)条边构成\(G\)的一个生成森林，若再从剩下的\(m-k\)条边中选\(n-1-k\)条添加到生成森林中使之成为\(G\)的MST，则该MST一定包含这\(m-k\)条边中链接生成森林的两个不连通节点的权值最小边。

看起来很难，但是其实这就是一个贪心策略。

其实求MST的过程就是从中选边把所有节点连起来，并且要求边权和最小的一个过程。那么从头开始，现在有一堆散点，我们开始连，肯定要挑选最小的边开始，然后依次取最小，如果可以加（即加边不构成环），就继续添加，否则就跳过。这么一个贪心策略肯定是最优的。

Kruskal算法

于是，基于上述策略，通过模拟就可以得到Kruskal算法，也就是把边录入之后进行排序，用并查集维护是否出现环，之后从小到大逐次向MST中添加即可。添加到n-1条边时即求出MST。

代码略。