离散傅里叶变换(DFT)要解决两个问题:一是信号离散化后它的频谱情况;二是快速运算算法。第一个问题将涉及周期离散信号的傅里叶级数(DFS),以及由DFS得到非周期信号的离散时间傅里叶变换(DTFT)和有限长序列的离散频谱表示;第二个问题将涉及DFT的快速算法——快速傅里叶变换(FFT)。
周期信号的频域分析
与周期模拟信号一样,周期离散信号同样可以展成傅里叶级数形式,并由此得出一新的变换对——离散傅里叶级数(Discrete Fourier Series),简记为DFS。
(一)离散傅里叶级数(DFS)的引入
可以从连续周期信号傅里叶级数的复指数形式导出周期序列的DFS。连续周期信号傅里叶级数的复指数形式为
对连续周期信号的一个周期进行N点采样,即,T为采样周期,这样采样得到的离散序列是以N为周期的周期序列,即
设为离散域的基本频率,单位为弧度,是k次谐波的数字频率。这样,在式(2)中,,在一个周期内的积分变为在一个周期内的累加,即
在序列表示中,可仅用表示nT,对应地,用表示,则上式为
是变量k的周期函数,周期为N,因为对任意整数q有
当周期信号从连续域变换到离散域以后,它的频率从的无限范围映射到数字频率从的有限范围。因此,连续周期信号的傅里叶级数可表示为具有无限多个谐波分量,而离散周期信号只含有有限个谐波分量,其谐波数为。所以对应于式(1)离散化处理后为
从式(3)和式(4)可以看出,以N为周期,的频谱就以的基本频率为间距离散化了。由此可以得到一个结论:周期序列的频谱是离散的。在前面的内容,我们看到了信号时域离散化、频域周期化这种现象;在这里,有完全对称的另一种情况,那就是时域周期化,频域离散化。
式(3)和式(4)描述了和相互计算的一对关系式。其中式(4)可以看作周期系列的傅里叶级数展开式,而则可以看作是的傅里叶级数展开式的系数。人们称满足这对关系式的周期序列和为离散傅里叶级数变换对,简记为
或者表示为和。即正变换为式(3),反变换为(4)。
(二)DFS的主要性质
- 线性性质
若,则
- 周期卷积定理
若,则
为周期卷积的符号,两周期序列和的周期卷积定义为
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于 周期卷积时仅仅在单个周期内求和,而线性卷积则是对所有的k值求和。
- 复共轭
若,则
*表示复共轭
- 位移性质
若,则
- 帕斯瓦尔定理
设,则
特别地,当时,有