【运筹学】线性规划 人工变量法 ( 人工变量法案例 | 初始单纯形表 | 检验数计算 | 入基变量 | 出基变量 )

上一篇博客 【运筹学】线性规划 人工变量法 ( 单纯形法总结 | 人工变量法引入 | 人工变量法原理分析 | 人工变量法案例 ) 中 , 介绍了人工变量法 , 主要用于解决线性规划标准形式中 , 初始系数矩阵中没有单位阵的情况 , 并给出一个案例 , 本篇博客中继续使用人工变量法解解上述线性规划问题 ;

一、生成初始单纯形表

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添加 2 2 2 个人工变量后 , 得到 人工变量单纯形法 线性规划模型 :

m a x Z = 3 x 1 + 2 x 2 − x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 − M x 6 − M x 7 s . t { − 4 x 1 + 3 x 2 + x 3 − x 4 + 0 x 5 + x 6 + 0 x 7 = 4 x 1 − x 2 + 2 x 3 + 0 x 4 + x 5 + 0 x 6 + 0 x 7 = 10 2 x 1 − 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 0 x 6 + x 7 = 1 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) \begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 0x_4 + 0x_5 - M x_6 - Mx_7 \\\\ s.t\begin{cases} -4 x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 + 0x_5 + x_6 + 0x_7 = 4 \\\\ x_1 - x_2 + 2x_3 + 0x_4 + x_5 + 0x_6 + 0x_7 = 10 \\\\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + 0x_6 + x_7 = 1 \\\\ x_j \geq 0 \quad (j = 1 , 2 , 3, 4, 5 , 6 , 7 ) \end{cases}\end{array} maxZ=3x1​+2x2​−x3​+0x4​+0x5​−Mx6​−Mx7​s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​−4x1​+3x2​+x3​−x4​+0x5​+x6​+0x7​=4x1​−x2​+2x3​+0x4​+x5​+0x6​+0x7​=102x1​−2x2​+x3​+0x4​+0x5​+0x6​+x7​=1xj​≥0(j=1,2,3,4,5,6,7)​​

其中的 M M M 是一个很大的数值 , 没有具体的值 , 可以理解为正无穷 + ∞ +\infty +∞ , 具体使用单纯形法进行计算时 , 将其理解为大于给出的任意一个确定的数值 ;

生成初始基可行表 :

c j c_j cj​	c j c_j cj​		3 3 3	2 2 2	− 1 -1 −1	0 0 0	0 0 0	− M -M −M	− M -M −M
C B C_B CB​ 基变量系数 (目标函数)	X B X_B XB​ 基变量	常数 b b b	x 1 x_1 x1​	x 2 x_2 x2​	x 3 x_3 x3​	x 4 x_4 x4​	x 5 x_5 x5​	x 6 x_6 x6​	x 7 x_7 x7​	θ i \theta_i θi​
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6​ 系数 c 6 c_6 c6​ )	x 6 x_6 x6​	4 4 4	− 4 -4 −4	3 3 3	1 1 1	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	0 0 0	? ? ? ( θ 6 \theta_6 θ6​)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5​ 系数 c 5 c_5 c5​)	x 5 x_5 x5​	10 10 10	1 1 1	− 1 -1 −1	2 2 2	0 0 0	1 1 1	0 0 0	0 0 0	? ? ? ( θ 5 \theta_5 θ5​ )
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7​ 系数 c 7 c_7 c7​)	x 7 x_7 x7​	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	1 1 1	? ? ? ( θ 7 \theta_7 θ7​ )
σ j \sigma_j σj​ ( 检验数 )			? ? ? ( σ 1 \sigma_1 σ1​ )	? ? ? ( σ 2 \sigma_2 σ2​ )	? ? ? ( σ 3 \sigma_3 σ3​ )	? ? ? ( σ 3 \sigma_3 σ3​ )	0 0 0	0 0 0	0 0 0

注意基变量顺序 : 初始基可行解的单位阵的顺序 , 是 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad \\ \end{pmatrix} ⎝⎛​100010001​⎠⎞​ , 对应的基变量顺序是 ( x 6 x 5 x 7 ) \begin{pmatrix} \quad x_6 \quad x_5 \quad x_7 \quad \\ \end{pmatrix} (x6​x5​x7​​)

• x 6 x_6 x6​ 系数是 ( 1 0 0 ) \begin{pmatrix} \quad 1 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \end{pmatrix} ⎝⎛​100​⎠⎞​

• x 5 x_5 x5​ 系数是 ( 0 1 0 ) \begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 1 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \end{pmatrix} ⎝⎛​010​⎠⎞​

• x 7 x_7 x7​ 系数是 ( 0 0 1 ) \begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 1 \quad \\ \end{pmatrix} ⎝⎛​001​⎠⎞​

二、计算非基变量检验数

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1 . 计算非基变量 x 1 x_1 x1​ 的检验数 σ 1 \sigma_1 σ1​ :

σ 1 = 3 − ( − M 0 − M ) × ( − 4 1 2 ) = 3 − ( − M × − 4 + 0 × 1 + − M × 2 ) = 3 − 2 M \sigma_1 = 3 - \begin{pmatrix} \quad -M \quad 0 \quad -M \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad -4 \quad \\\\ \quad 1 \quad \\\\ \quad 2 \quad \end{pmatrix} = 3- ( -M \times -4 + 0 \times 1 + -M \times 2) =3 - 2M σ1​=3−(−M0−M​)×⎝⎜⎜⎜⎜⎛​−412​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​=3−(−M×−4+0×1+−M×2)=3−2M

其中 M M M 是正无穷 + ∞ +\infin +∞ , 3 − 2 M 3 - 2M 3−2M 是负数 ;

2 . 计算非基变量 x 2 x_2 x2​ 的检验数 σ 2 \sigma_2 σ2​ :

σ 2 = 2 − ( − M 0 − M ) × ( 3 − 1 − 2 ) = 2 − ( − M × 3 + 0 × − 1 + − M × − 2 ) = 2 + M \sigma_2 = 2 - \begin{pmatrix} \quad -M \quad 0 \quad -M \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad 3 \quad \\\\ \quad -1 \quad \\\\ \quad -2 \quad \end{pmatrix} = 2- ( -M \times 3 + 0 \times -1 + -M \times -2) = 2 + M σ2​=2−(−M0−M​)×⎝⎜⎜⎜⎜⎛​3−1−2​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​=2−(−M×3+0×−1+−M×−2)=2+M

其中 M M M 是正无穷 + ∞ +\infin +∞ , 2 + M 2 + M 2+M 是正数 ;

3 . 计算非基变量 x 3 x_3 x3​ 的检验数 σ 3 \sigma_3 σ3​ :

σ 3 = − 1 − ( − M 0 − M ) × ( 1 2 1 ) = − 1 − ( − M × 1 + 0 × 2 + − M × 1 ) = − 1 + 2 M \sigma_3 = -1 - \begin{pmatrix} \quad -M \quad 0 \quad -M \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad 1 \quad \\\\ \quad 2 \quad \\\\ \quad 1 \quad \end{pmatrix} = -1- ( -M \times 1 + 0 \times 2 + -M \times 1) =-1 + 2M σ3​=−1−(−M0−M​)×⎝⎜⎜⎜⎜⎛​121​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​=−1−(−M×1+0×2+−M×1)=−1+2M

其中 M M M 是正无穷 + ∞ +\infin +∞ , − 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M 是正数 ;

4 . 计算非基变量 x 4 x_4 x4​ 的检验数 σ 4 \sigma_4 σ4​ :

σ 4 = 0 − ( − M 0 − M ) × ( − 1 0 0 ) = 0 − ( − M × − 1 + 0 × 0 + − M × 0 ) = − M \sigma_4 = 0 - \begin{pmatrix} \quad -M \quad 0 \quad -M \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad -1 \quad \\\\ \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad \end{pmatrix} = 0- ( -M \times -1 + 0 \times 0 + -M \times 0) =-M σ4​=0−(−M0−M​)×⎝⎜⎜⎜⎜⎛​−100​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​=0−(−M×−1+0×0+−M×0)=−M

其中 M M M 是正无穷 + ∞ +\infin +∞ , − M -M −M 是负数 ;

三、最优解判定

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根据上述四个检验数 { σ 1 = 3 − 2 M ( 负 数 ) σ 2 = 2 + M ( 正 数 ) σ 3 = − 1 + 2 M ( 正 数 ) σ 4 = − M ( 负 数 ) \begin{cases} \sigma_1 = 3 - 2M \quad ( 负数 )\\\\ \sigma_2= 2 + M \quad ( 正数 )\\\\ \sigma_3= -1 + 2M \quad ( 正数 ) \\\\ \sigma_4 = -M \quad ( 负数 ) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​σ1​=3−2M(负数)σ2​=2+M(正数)σ3​=−1+2M(正数)σ4​=−M(负数)​ 的值 , 其中 σ 2 , σ 3 \sigma_2 , \sigma_3 σ2​,σ3​ 检验数大于 0 0 0 , 该基可行解不是最优解 ;

只有当检验数都小于等于 0 0 0 时 , 该基可行解才是最优解 ;

四、选择入基变量

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根据上述四个检验数 { σ 1 = 3 − 2 M σ 2 = 2 + M σ 3 = − 1 + 2 M σ 4 = − M \begin{cases} \sigma_1 = 3 - 2M\\\\ \sigma_2= 2 + M\\\\ \sigma_3= -1 + 2M \\\\ \sigma_4 = -M \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​σ1​=3−2Mσ2​=2+Mσ3​=−1+2Mσ4​=−M​ 的值 , 选择检验数最大的非基变量作为入基变量 , σ 3 = − 1 + 2 M \sigma_3= -1 + 2M σ3​=−1+2M 最大 , 这里选择 x 3 x_3 x3​ ;

五、选择出基变量

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出基变量选择 : 常数列 b = ( 4 10 1 ) b =\begin{pmatrix} \quad 4 \quad \\ \quad 10 \quad \\ \quad 1 \quad \\ \end{pmatrix} b=⎝⎛​4101​⎠⎞​ , 分别除以除以入基变量 x 3 x_3 x3​ 大于 0 0 0 的系数列 ( 1 2 1 ) \begin{pmatrix} \quad 1 \quad \\\\ \quad 2 \quad \\\\ \quad 1 \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛​121​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​ , 计算过程如下 ( 4 1 10 2 1 1 ) \begin{pmatrix} \quad \cfrac{4}{1} \quad \\\\ \quad \cfrac{10}{2} \quad \\\\ \quad \cfrac{1}{ 1} \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​14​210​11​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​ , 得出结果是 ( 4 5 1 ) \begin{pmatrix} \quad 4 \quad \\\\ \quad 5 \quad \\\\ \quad 1 \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛​451​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​ , 如果系数小于等于 0 0 0 , 该值就是无效值 , 默认为无穷大 , 不进行比较 , 选择 1 1 1 对应的基变量作为出基变量 , 查看该最小值对应的变量是 x 7 x_7 x7​ , 选择该 x 7 x_7 x7​ 变量作为出基变量 ;

六、更新单纯形表

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c j c_j cj​	c j c_j cj​		3 3 3	2 2 2	− 1 -1 −1	0 0 0	0 0 0	− M -M −M	− M -M −M
C B C_B CB​ 基变量系数 (目标函数)	X B X_B XB​ 基变量	常数 b b b	x 1 x_1 x1​	x 2 x_2 x2​	x 3 x_3 x3​	x 4 x_4 x4​	x 5 x_5 x5​	x 6 x_6 x6​	x 7 x_7 x7​	θ i \theta_i θi​
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6​ 系数 c 6 c_6 c6​ )	x 6 x_6 x6​	4 4 4	− 4 -4 −4	3 3 3	1 1 1	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	0 0 0	4 4 4 ( θ 6 \theta_6 θ6​)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5​ 系数 c 5 c_5 c5​)	x 5 x_5 x5​	10 10 10	1 1 1	− 1 -1 −1	2 2 2	0 0 0	1 1 1	0 0 0	0 0 0	5 5 5 ( θ 5 \theta_5 θ5​ )
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7​ 系数 c 7 c_7 c7​)	x 7 x_7 x7​	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	1 1 1	1 1 1 ( θ 7 \theta_7 θ7​ )
σ j \sigma_j σj​ ( 检验数 )			3 − 2 M 3-2M 3−2M ( σ 1 \sigma_1 σ1​ )	2 + M 2+M 2+M ( σ 2 \sigma_2 σ2​ )	− 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M ( σ 3 \sigma_3 σ3​ )	− M -M −M ( σ 3 \sigma_3 σ3​ )	0 0 0	0 0 0	0 0 0