【运筹学】线性规划人工变量法 ( 人工变量法案例 | 第二次迭代 | 中心元变换 | 检验数计算 | 最优解判定 | 选择入基变量 | 选择出基变量 )

原创

韩曙亮_ 2022-03-09 09:30:48 博主文章分类：运筹学 ©著作权

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文章目录

一、第二次迭代 : 中心元变换
二、第二次迭代 : 单纯形表
三、第二次迭代 : 计算检验数
四、第二次迭代 : 最优解判定
五、第二次迭代 : 选择入基变量
六、第二次迭代 : 选择出基变量
七、第二次迭代 : 更新单纯形表

一、第二次迭代 : 中心元变换

当前的单纯形表为 :

c j c_j cj	c j c_j cj		3 3 3	2 2 2	− 1 -1 −1	0 0 0	0 0 0	− M -M −M	− M -M −M
C B C_B CB 基变量系数 (目标函数)	X B X_B XB 基变量	常数 b b b	x 1 x_1 x1	x 2 x_2 x2	x 3 x_3 x3	x 4 x_4 x4	x 5 x_5 x5	x 6 x_6 x6	x 7 x_7 x7	θ i \theta_i θi
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 )	x 6 x_6 x6	4 4 4	− 4 -4 −4	3 3 3	1 1 1	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	0 0 0	4 4 4 ( θ 6 \theta_6 θ6)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	10 10 10	1 1 1	− 1 -1 −1	2 2 2	0 0 0	1 1 1	0 0 0	0 0 0	5 5 5 ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7 系数 c 7 c_7 c7)	x 7 x_7 x7	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	1 1 1	1 1 1 ( θ 7 \theta_7 θ7 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			3 − 2 M 3-2M 3−2M ( σ 1 \sigma_1 σ1)	2 + M 2+M 2+M ( σ 2 \sigma_2 σ2)	− 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M ( σ 4 \sigma_4 σ4)	− M -M −M ( σ 3 \sigma_3 σ3)	0 0 0	0 0 0	0 0 0
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 )	x 6 x_6 x6	3 3 3	− 6 -6 −6	5 5 5	0 0 0	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	移除	3 5 \dfrac{3}{5} 53 ( θ 6 \theta_6 θ6)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	8 8 8	− 3 -3 −3	3 3 3	0 0 0	0 0 0	1 1 1	0 0 0	移除	8 3 \dfrac{8}{3} 38 ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3)	x 3 x_3 x3	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	移除	− - − ( θ 3 \theta_3 θ3 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			5 − 6 M 5-6M 5−6M ( σ 1 \sigma_1 σ1)	5 M 5M 5M ( σ 2 \sigma_2 σ2)	0 0 0	− M -M −M ( σ 4 \sigma_4 σ4)	0 0 0	0 0 0	移除

中心元 : 其中 x 2 x_2 x2 是入基变量 , x 6 x_6 x6 是出基变量 , 单纯形表中 , x 2 x_2 x2 变量列与 x 6 x_6 x6 变量行的交叉点就是中心元 ;

中心元变换 : 以中心元为轴 , 作变换 ;

中心元位置变换成 1 1 1 ;
中心元同列的系数变换成 0 0 0 ;

当前约束方程组等式为 :

s . t { − 6 x 1 + 5 x 2 + 0 x 3 − x 4 + 0 x 5 + x 6 − x 7 = 3 − 3 x 1 + 3 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + x 5 + 0 x 6 − 2 x 7 = 8 2 x 1 − 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 0 x 6 + x 7 = 1 s.t\begin{cases} -6x_1 + 5x_2 + 0x_3 -x_4 + 0x_5 + x_6 - x_7 =3 \\\\ -3x_1 + 3x_2 + 0x_3 + 0x_4 + x_5 + 0x_6 - 2 x_7 = 8 \\\\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + 0x_6 + x_7 = 1 \end{cases} s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−6x1+5x2+0x3−x4+0x5+x6−x7=3−3x1+3x2+0x3+0x4+x5+0x6−2x7=82x1−2x2+x3+0x4+0x5+0x6+x7=1

x 6 x_6 x6 是出基变量 , 并且是人工添加上去的变量 , 这里直接将 x 6 , x 7 x_6, x_7 x6,x7 删除即可 ;

方程 1 1 1 变换 ( 中心元系数变为 1 1 1 ) :

将 − 6 x 1 + 5 x 2 + 0 x 3 − x 4 + 0 x 5 + x 6 − x 7 = 3 -6x_1 + 5x_2 + 0x_3 -x_4 + 0x_5 + x_6 - x_7 =3 −6x1+5x2+0x3−x4+0x5+x6−x7=3 中 x 2 x_2 x2 的系数变为 1 1 1 , 在方程左右两边乘以 1 5 \dfrac{1}{5} 51 ; ( 删除了 x 6 , x 7 x_6, x_7 x6,x7 )

− 6 x 1 + 5 x 2 + 0 x 3 − x 4 + 0 x 5 5 = 3 5 − 6 5 x 1 + x 2 + 0 x 3 − 1 5 x 4 + 0 x 5 = 3 5 \begin{array}{lcl} \dfrac{-6x_1 + 5x_2 + 0x_3 -x_4 + 0x_5}{5} = \dfrac{3}{5} \\\\ -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5} \end{array} 5−6x1+5x2+0x3−x4+0x5=53−56x1+x2+0x3−51x4+0x5=53

方程 2 2 2 变换 ( 中心元同列系数变为 0 0 0 ) :

将 − 3 x 1 + 3 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + x 5 + 0 x 6 − 2 x 7 = 8 -3x_1 + 3x_2 + 0x_3 + 0x_4 + x_5 + 0x_6 - 2 x_7 = 8 −3x1+3x2+0x3+0x4+x5+0x6−2x7=8 中 x 2 x_2 x2 的系数变为 0 0 0 , 在方程 1 1 1 中 − 6 5 x 1 + x 2 + 0 x 3 − 1 5 x 4 + 0 x 5 = 3 5 -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5} −56x1+x2+0x3−51x4+0x5=53 的等式左右两边乘以 − 3 -3 −3 , 与上述方程相加即可 ; ( 删除了 x 6 , x 7 x_6, x_7 x6,x7 )

( − 6 5 x 1 + x 2 + 0 x 3 − 1 5 x 4 + 0 x 5 ) × − 3 + ( − 3 x 1 + 3 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + x 5 ) = 3 5 × − 3 + 8 3 5 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 3 5 x 4 + x 5 = 31 5 \begin{array}{lcl} ( -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 ) \times -3 + ( -3x_1 + 3x_2 + 0x_3 + 0x_4 + x_5 ) = \dfrac{3}{5} \times -3 + 8 \\\\ \dfrac{3}{5} x_1 + 0x_2 + 0x_3 + \dfrac{3}{5}x_4 + x_5 = \dfrac{31}{5} \end{array} (−56x1+x2+0x3−51x4+0x5)×−3+(−3x1+3x2+0x3+0x4+x5)=53×−3+853x1+0x2+0x3+53x4+x5=531

方程 3 3 3 变换 ( 中心元同列系数变为 0 0 0 ) :

将 2 x 1 − 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 0 x 6 + x 7 = 1 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + 0x_6 + x_7 = 1 2x1−2x2+x3+0x4+0x5+0x6+x7=1 中 x 2 x_2 x2 的系数变为 0 0 0 , 在方程 1 1 1 中 − 6 5 x 1 + x 2 + 0 x 3 − 1 5 x 4 + 0 x 5 = 3 5 -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5} −56x1+x2+0x3−51x4+0x5=53 的等式左右两边乘以 2 2 2 , 与上述方程相加即可 ; ( 删除了 x 6 , x 7 x_6, x_7 x6,x7 )

( − 6 5 x 1 + x 2 + 0 x 3 − 1 5 x 4 + 0 x 5 ) × 2 + ( 2 x 1 − 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 ) = 3 5 × 2 + 1 − 2 5 x 1 + 0 x 2 + x 3 − 2 5 x 4 + 0 x 5 = 11 5 \begin{array}{lcl} ( -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 ) \times 2 + ( 2x_1 - 2x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 ) = \dfrac{3}{5} \times 2 + 1 \\\\ -\dfrac{2}{5} x_1 + 0x_2 + x_3 - \dfrac{2}{5}x_4 + 0x_5 = \dfrac{11}{5} \end{array} (−56x1+x2+0x3−51x4+0x5)×2+(2x1−2x2+x3+0x4+0x5)=53×2+1−52x1+0x2+x3−52x4+0x5=511

最终约束方程变为 :

s . t { − 6 5 x 1 + x 2 + 0 x 3 − 1 5 x 4 + 0 x 5 = 3 5 3 5 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 3 5 x 4 + x 5 = 31 5 − 2 5 x 1 + 0 x 2 + x 3 − 2 5 x 4 + 0 x 5 = 11 5 s.t\begin{cases} -\dfrac{6}{5} x_1 + x_2 + 0x_3 - \dfrac{1}{5} x_4 + 0x_5 = \dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{3}{5} x_1 + 0x_2 + 0x_3 + \dfrac{3}{5}x_4 + x_5 = \dfrac{31}{5} \\\\ -\dfrac{2}{5} x_1 + 0x_2 + x_3 - \dfrac{2}{5}x_4 + 0x_5 = \dfrac{11}{5} \end{cases} s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−56x1+x2+0x3−51x4+0x5=5353x1+0x2+0x3+53x4+x5=531−52x1+0x2+x3−52x4+0x5=511

二、第二次迭代 : 单纯形表

根据上述中心元变换结果 , 更新单纯形表 :

c j c_j cj	c j c_j cj		3 3 3	2 2 2	− 1 -1 −1	0 0 0	0 0 0	− M -M −M	− M -M −M
C B C_B CB 基变量系数 (目标函数)	X B X_B XB 基变量	常数 b b b	x 1 x_1 x1	x 2 x_2 x2	x 3 x_3 x3	x 4 x_4 x4	x 5 x_5 x5	x 6 x_6 x6	x 7 x_7 x7	θ i \theta_i θi
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 )	x 6 x_6 x6	4 4 4	− 4 -4 −4	3 3 3	1 1 1	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	0 0 0	4 4 4 ( θ 6 \theta_6 θ6)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	10 10 10	1 1 1	− 1 -1 −1	2 2 2	0 0 0	1 1 1	0 0 0	0 0 0	5 5 5 ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7 系数 c 7 c_7 c7)	x 7 x_7 x7	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	1 1 1	1 1 1 ( θ 7 \theta_7 θ7 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			3 − 2 M 3-2M 3−2M ( σ 1 \sigma_1 σ1)	2 + M 2+M 2+M ( σ 2 \sigma_2 σ2)	− 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M ( σ 4 \sigma_4 σ4)	− M -M −M ( σ 3 \sigma_3 σ3)	0 0 0	0 0 0	0 0 0
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 )	x 6 x_6 x6	3 3 3	− 6 -6 −6	5 5 5	0 0 0	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	移除	3 5 \dfrac{3}{5} 53 ( θ 6 \theta_6 θ6)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	8 8 8	− 3 -3 −3	3 3 3	0 0 0	0 0 0	1 1 1	0 0 0	移除	8 3 \dfrac{8}{3} 38 ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3)	x 3 x_3 x3	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	移除	− - − ( θ 3 \theta_3 θ3 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			5 − 6 M 5-6M 5−6M ( σ 1 \sigma_1 σ1)	5 M 5M 5M ( σ 2 \sigma_2 σ2)	0 0 0	− M -M −M ( σ 4 \sigma_4 σ4)	0 0 0	0 0 0	移除
第二次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
2 2 2 ( 目标函数 x 2 x_2 x2 系数 c 2 c_2 c2 )	x 2 x_2 x2	3 5 \dfrac{3}{5} 53	− 6 5 -\dfrac{6}{5} −56	1 1 1	0 0 0	− 1 5 -\dfrac{1}{5} −51	0 0 0	移除	移除	? ? ? ( θ 2 \theta_2 θ2)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	31 5 \dfrac{31}{5} 531	3 5 \dfrac{3}{5} 53	0 0 0	0 0 0	3 5 \dfrac{3}{5} 53	1 1 1	移除	移除	? ? ? ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3)	x 3 x_3 x3	11 5 \dfrac{11}{5} 511	− 2 5 -\dfrac{2}{5} −52	0 0 0	1 1 1	− 2 5 -\dfrac{2}{5} −52	0 0 0	移除	移除	? ? ? ( θ 3 \theta_3 θ3 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			? ? ? ( σ 1 \sigma_1 σ1)	0 0 0	0 0 0	? ? ? ( σ 4 \sigma_4 σ4)	0 0 0	移除	移除

三、第二次迭代 : 计算检验数

1 . 计算非基变量 x 1 x_1 x1 的检验数 σ 1 \sigma_1 σ1 :

σ 1 = 3 − ( 2 0 − 1 ) × ( − 6 5 3 5 − 2 5 ) = 3 − ( 2 × − 6 5 + 0 × 3 5 + − 1 × − 2 5 ) = 5 \sigma_1 = 3 - \begin{pmatrix} \quad 2 \quad 0 \quad -1 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad -\dfrac{6}{5} \quad \\\\ \quad \dfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad -\dfrac{2}{5} \quad \end{pmatrix} = 3- ( 2 \times -\dfrac{6}{5} + 0 \times \dfrac{3}{5} + -1 \times -\dfrac{2}{5}) =5 σ1=3−(20−1)×⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−5653−52⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=3−(2×−56+0×53+−1×−52)=5

2 . 计算非基变量 x 4 x_4 x4 的检验数 σ 4 \sigma_4 σ4 :

σ 4 = 0 − ( 2 0 − 1 ) × ( − 1 5 3 5 − 2 5 ) = 0 − ( 2 × − 1 5 + 0 × 3 5 + − 1 × − 2 5 ) = 0 \sigma_4 = 0 - \begin{pmatrix} \quad 2 \quad 0 \quad -1 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad -\dfrac{1}{5} \quad \\\\ \quad \dfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad -\dfrac{2}{5} \quad \end{pmatrix} = 0 - ( 2 \times -\dfrac{1}{5} + 0 \times \dfrac{3}{5} + -1 \times -\dfrac{2}{5}) =0 σ4=0−(20−1)×⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−5153−52⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=0−(2×−51+0×53+−1×−52)=0

四、第二次迭代 : 最优解判定

根据上述三个检验数 { σ 1 = 5 ( 正数 ) σ 4 = 0 ( 小于等于 0 ) \begin{cases} \sigma_1 = 5 \quad ( 正数 )\\\\ \sigma_4 = 0 \quad ( 小于等于 0 ) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧σ1=5(正数)σ4=0(小于等于0) 的值 , 其中 σ 1 \sigma_1 σ1 检验数大于 0 0 0 , 该基可行解不是最优解 ;

只有当检验数都小于等于 0 0 0 时 , 该基可行解才是最优解 ;

五、第二次迭代 : 选择入基变量

根据上述三个检验数 { σ 1 = 5 ( 正数 ) σ 4 = 0 ( 小于等于 0 ) \begin{cases} \sigma_1 = 5 \quad ( 正数 )\\\\ \sigma_4 = 0 \quad ( 小于等于 0 ) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧σ1=5(正数)σ4=0(小于等于0) 的值 , 选择检验数最大的非基变量作为入基变量 , σ 1 = 5 \sigma_1= 5 σ1=5 最大 , 这里选择 x 1 x_1 x1 作为入基变量 ;

六、第二次迭代 : 选择出基变量

出基变量选择 : 常数列 b = ( 3 5 31 5 11 5 ) b =\begin{pmatrix} \quad \cfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad \cfrac{31}{5} \quad \\\\ \quad \cfrac{11}{5} \quad \\ \end{pmatrix} b=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛53531511⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ , 分别除以除以入基变量 x 1 x_1 x1 大于 0 0 0 的系数列 ( − 6 5 3 5 − 2 5 ) \begin{pmatrix} \quad -\cfrac{6}{5} \quad \\\\ \quad \cfrac{3}{5} \quad \\\\ \quad -\cfrac{2}{5} \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−5653−52⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ , 计算过程如下 ( 系数小于等于 0 不符合要求 31 5 3 5 系数小于等于 0 不符合要求 ) \begin{pmatrix} \quad 系数小于等于 0 不符合要求 \quad \\\\ \quad \cfrac{\dfrac{31}{5}}{\dfrac{3}{5}} \quad \\\\ \quad 系数小于等于 0 不符合要求 \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛系数小于等于0不符合要求53531系数小于等于0不符合要求⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ , 得出结果是 ( − 31 3 − ) \begin{pmatrix} \quad - \quad \\\\ \quad \cfrac{31}{3} \quad \\\\ \quad - \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛−331−⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞ , 如果系数小于等于 0 0 0 , 该值就是无效值 , 默认为无穷大 , 不进行比较 , 选择 31 3 \cfrac{31}{3} 331 对应的基变量作为出基变量 , 查看该最小值对应的变量是 x 5 x_5 x5 , 选择该 x 5 x_5 x5 变量作为出基变量 ;

七、第二次迭代 : 更新单纯形表

更新单纯形表 :

c j c_j cj	c j c_j cj		3 3 3	2 2 2	− 1 -1 −1	0 0 0	0 0 0	− M -M −M	− M -M −M
C B C_B CB 基变量系数 (目标函数)	X B X_B XB 基变量	常数 b b b	x 1 x_1 x1	x 2 x_2 x2	x 3 x_3 x3	x 4 x_4 x4	x 5 x_5 x5	x 6 x_6 x6	x 7 x_7 x7	θ i \theta_i θi
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 )	x 6 x_6 x6	4 4 4	− 4 -4 −4	3 3 3	1 1 1	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	0 0 0	4 4 4 ( θ 6 \theta_6 θ6)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	10 10 10	1 1 1	− 1 -1 −1	2 2 2	0 0 0	1 1 1	0 0 0	0 0 0	5 5 5 ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− M -M −M ( 目标函数 x 7 x_7 x7 系数 c 7 c_7 c7)	x 7 x_7 x7	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	1 1 1	1 1 1 ( θ 7 \theta_7 θ7 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			3 − 2 M 3-2M 3−2M ( σ 1 \sigma_1 σ1)	2 + M 2+M 2+M ( σ 2 \sigma_2 σ2)	− 1 + 2 M -1 + 2M −1+2M ( σ 4 \sigma_4 σ4)	− M -M −M ( σ 3 \sigma_3 σ3)	0 0 0	0 0 0	0 0 0
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
− M -M −M ( 目标函数 x 6 x_6 x6 系数 c 6 c_6 c6 )	x 6 x_6 x6	3 3 3	− 6 -6 −6	5 5 5	0 0 0	− 1 -1 −1	0 0 0	1 1 1	移除	3 5 \dfrac{3}{5} 53 ( θ 6 \theta_6 θ6)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	8 8 8	− 3 -3 −3	3 3 3	0 0 0	0 0 0	1 1 1	0 0 0	移除	8 3 \dfrac{8}{3} 38 ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3)	x 3 x_3 x3	1 1 1	2 2 2	− 2 -2 −2	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	移除	− - − ( θ 3 \theta_3 θ3 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			5 − 6 M 5-6M 5−6M ( σ 1 \sigma_1 σ1)	5 M 5M 5M ( σ 2 \sigma_2 σ2)	0 0 0	− M -M −M ( σ 4 \sigma_4 σ4)	0 0 0	0 0 0	移除
第二次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
2 2 2 ( 目标函数 x 2 x_2 x2 系数 c 2 c_2 c2 )	x 2 x_2 x2	3 5 \dfrac{3}{5} 53	− 6 5 -\dfrac{6}{5} −56	1 1 1	0 0 0	− 1 5 -\dfrac{1}{5} −51	0 0 0	移除	移除	− - − ( θ 2 \theta_2 θ2)
0 0 0 ( 目标函数 x 5 x_5 x5 系数 c 5 c_5 c5)	x 5 x_5 x5	31 5 \dfrac{31}{5} 531	3 5 \dfrac{3}{5} 53	0 0 0	0 0 0	3 5 \dfrac{3}{5} 53	1 1 1	移除	移除	31 3 \dfrac{31}{3} 331 ( θ 5 \theta_5 θ5 )
− 1 -1 −1 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3)	x 3 x_3 x3	11 5 \dfrac{11}{5} 511	− 2 5 -\dfrac{2}{5} −52	0 0 0	1 1 1	− 2 5 -\dfrac{2}{5} −52	0 0 0	移除	移除	− - − ( θ 3 \theta_3 θ3 )
σ j \sigma_j σj ( 检验数 )			5 5 5 ( σ 1 \sigma_1 σ1)	0 0 0	0 0 0	0 0 0 ( σ 4 \sigma_4 σ4)	0 0 0	移除	移除