【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 线性规划求解示例 )

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韩曙亮_ 2022-03-09 09:30:40 博主文章分类：运筹学 ©著作权

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文章目录

一、单纯形法计算示例
二、转化标准形式
三、查找初始基可行解
四、列出单纯形表
五、最优解判定

在上一篇博客【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 单纯形表 | 系数计算方法 | 根据系数是否小于等于 0 判定最优解 ) 博客中讲解了最优解判定原则 , 基本原理就是

目标函数推导后的结果 m a x Z = b 0 + ( C N T − C B T B − 1 N ) X N maxZ = b_0 + ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_N maxZ=b0+(CNT−CBTB−1N)XN ;
如果满足条件 : " 当 X N = O X_N = O XN=O 时 , 目标函数取值最大 " , 那么该 B B B 矩阵对应的基可行解就是最优解 ( 根据定理得出 ) ;
在 ( C N T − C B T B − 1 N ) ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) (CNT−CBTB−1N) 计算结果中 , 每个分量的值都小于等于 0 0 0 时 , 该解就是最优解 ;
将 C N C_N CN , C B C_B CB , B − 1 N B^{-1}N B−1N 写入单纯形表中 , 方便计算 ;
( C N T − C B T B − 1 N ) = ( c m + 1 c m + 2 ⋯ c n ) − ( c 1 c 2 ⋯ c m ) × [ a 1 , m + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a m , m + 1 ⋯ a m n ] ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) = \begin{pmatrix} c_{m+1} \quad c_{m+2} \quad \cdots \quad c_n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} c_{1} \quad c_{2} \quad \cdots \quad c_m \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} &a_{1,m+1} & \cdots & a_{1n} & \\\\ &\vdots & \vdots & \vdots & \\\\ &a_{m,m+1} & \cdots & a_{mn} & \end{bmatrix} (CNT−CBTB−1N)=(cm+1cm+2⋯cn)−(c1c2⋯cm)×⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1,m+1⋮am,m+1⋯⋮⋯a1n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
根据上述公式 , 每个系数的计算公式为 : σ j = c j − ∑ c i a i j \sigma_j = c_j - \sum c_i a_{ij} σj=cj−∑ciaij , 其中 c j c_j cj 对应的是非基变量在目标函数系数 , c i c_i ci 是基变量在目标函数中的系数 , a i j a_{ij} aij 是 B − 1 N B^{-1}N B−1N 中的矩阵向量 , 代表一列 ;

单纯形法解线性规划的三大问题 : 查找初始基可行解 , 判定是否是最优解 , 如何迭代基可行解 ;

在前几篇博客中讲解了如何查找初始基可行解 , 与判定是否是最优解 , 本篇博客中讲解如何进行迭代 ;

一、单纯形法计算示例

使用单纯形法求解线性规划最优解 :

m a x Z = 3 x 1 + 4 x 2 { 2 x 1 + x 2 ≤ 40 x 1 + 3 x 2 ≤ 30 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 ) \begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 4x_2 \\ \\ \begin{cases} 2 x_1 + x_2 \leq 40 \\\\ x_1 + 3x_2 \leq 30 \\ \\x_j \geq 0 & (j = 1 , 2 ) \end{cases}\end{array} maxZ=3x1+4x2⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2x1+x2≤40x1+3x2≤30xj≥0(j=1,2)

二、转化标准形式

首先将该线性规划转为标准形式 :

① 变量约束 : 首先查看变量约束 , 两个变量都是 ≥ 0 \geq 0 ≥0 的 , 符合线性规划标准形式要求 ;

② 不等式转换 : 两个等式都是小于等于不等式 , 需要在不等式左侧加入松弛变量 , 将其转为等式 ;

2 x 1 + x 2 ≤ 40 2 x_1 + x_2 \leq 40 2x1+x2≤40 , 左侧加入松弛变量 x 3 x_3 x3 , 变为 2 x 1 + x 2 + x 3 = 40 2 x_1 + x_2 + x_3 = 40 2x1+x2+x3=40
x 1 + 3 x 2 ≤ 30 x_1 + 3x_2 \leq 30 x1+3x2≤30 , 左侧加入松弛变量 x 4 x_4 x4 , 变为 x 1 + 3 x 2 + x 4 = 30 x_1 + 3x_2 + x_4 = 30 x1+3x2+x4=30

③ 更新目标函数 : 将 x 3 x_3 x3 和 x 4 x_4 x4 加入到目标函数中 , 得到新的目标函数 m a x Z = 3 x 1 + 4 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 max Z = 3x_1 + 4x_2 + 0x_3 + 0x_4 maxZ=3x1+4x2+0x3+0x4 ;

此时线性规划标准形式为 :

m a x Z = 3 x 1 + 4 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 { 2 x 1 + x 2 + x 3 + 0 x 4 = 40 x 1 + 3 x 2 + 0 x 3 + x 4 = 30 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) \begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 4x_2 + 0x_3 + 0x_4 \\ \\ \begin{cases} 2 x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = 40 \\\\ x_1 + 3x_2 + 0x_3 + x_4 = 30 \\\\ x_j \geq 0 & (j = 1 , 2 , 3 , 4 ) \end{cases}\end{array} maxZ=3x1+4x2+0x3+0x4⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2x1+x2+x3+0x4=40x1+3x2+0x3+x4=30xj≥0(j=1,2,3,4)

三、查找初始基可行解

找基矩阵 :

上述线性规划标准形式的系数矩阵为 [ 2 1 1 0 1 3 0 1 ] \begin{bmatrix} &2 & 1 & 1 & 0 & \\\\ & 1 & 3 & 0 & 1 & \end{bmatrix} ⎣⎡21131001⎦⎤ , 其中子矩阵中有 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} & 1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix} ⎣⎡1001⎦⎤ 单位阵 I I I ;

使用该单位阵 I I I 作为基矩阵 , 单位阵肯定是可逆的 , 其对应的基解 , 解出后的值就是右侧的常数值 , 肯定大于等于 0 0 0 , 是基可行解 ;

四、列出单纯形表

列出单纯形表 :

c j c_j cj	c j c_j cj		3 3 3	4 4 4	0 0 0	0 0 0
C B C_B CB 基变量系数 (目标函数)	基变量	常数 b b b	x 1 x_1 x1	x 2 x_2 x2	x 3 x_3 x3	x 4 x_4 x4	θ i \theta_i θi
0 0 0 ( 目标函数 x 3 x_3 x3 系数 c 3 c_3 c3 )	x 3 x_3 x3	40 40 40	2 2 2	1 1 1	1 1 1	0 0 0
0 0 0 ( 目标函数 x 4 x_4 x4 系数 c 4 c_4 c4)	x 4 x_4 x4	30 30 30	1 1 1	3 3 3	0 0 0	1 1 1
		σ j \sigma_j σj	3 3 3	4 4 4	0 0 0	0 0 0

基变量是 x 3 x_3 x3 和 x 4 x_4 x4 , 基变量在约束条件中的系数矩阵 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ &0 & 1 & \end{bmatrix} ⎣⎡1001⎦⎤ 就是基矩阵 , 这是个单位阵 ;

基变量是 x 3 x_3 x3 和 x 4 x_4 x4 在目标函数中的系数是 ( 0 0 ) \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 0 \quad \end{pmatrix} (00) ;

此时的基解是 ( 0 0 40 30 ) \begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 40 \quad \\ \quad 30 \quad \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛004030⎠⎟⎟⎞ , 该解是初始解 , 下面判定该解是否是最优解 ;

五、最优解判定

使用检验数矩阵 ( C N T − C B T B − 1 N ) ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) (CNT−CBTB−1N) 判断上述解 , 是否是最优解 , 该矩阵计算结果中所有的数 , 都是检验数 σ \sigma σ , 如果所有的数都小于等于 0 0 0 , 说明该解就是最优解 ;

这里只求非基变量的检验数 , 即 x 1 x_1 x1 , x 2 x_2 x2 的检验数 ;

列出目标函数非基变量系数 ( C N T − C B T B − 1 N ) ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) (CNT−CBTB−1N) 矩阵 :

非基变量在目标函数中的系数矩阵 : C N T = ( 3 4 ) C_N^T=\begin{pmatrix} \quad 3 \quad 4 \quad \end{pmatrix} CNT=(34)
基变量在目标函数中的叙述矩阵 : C B T = ( 0 0 ) C_B^T = \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 0 \quad \end{pmatrix} CBT=(00)
B − 1 N B^{-1}N B−1N 是系数矩阵中经过矩阵变换后 , 基变量系数是单位阵 I I I , 非基变量系数是 B − 1 N B^{-1}N B−1N : B − 1 N = [ 2 1 1 3 ] B^{-1}N =\begin{bmatrix} &2 & 1 & \\\\ &1 & 3 & \end{bmatrix} B−1N=⎣⎡2113⎦⎤

( C N T − C B T B − 1 N ) = C N T = ( 3 4 ) − ( 0 0 ) × [ 2 1 1 3 ] ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) = C_N^T=\begin{pmatrix} \quad 3 \quad 4 \quad \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 0 \quad \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} &2 & 1 & \\\\ &1 & 3 & \end{bmatrix} (CNT−CBTB−1N)=CNT=(34)−(00)×⎣⎡2113⎦⎤

= ( σ 1 σ 2 ) = \begin{pmatrix} \quad \sigma_{1} \quad \sigma_{2} \quad \end{pmatrix} =(σ1σ2)

其中 σ 1 \sigma_{1} σ1 是目标函数中 x 1 x_1 x1 的系数 , σ 2 \sigma_{2} σ2 是目标函数中的 x 2 x_2 x2 的系数 ;

如果上述两个系数都小于等于 0 0 0 , 那么当非基变量 X N = ( x 1 x 2 ) X_N =\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} XN=(x1x2) 取值为 0 0 0 时 , 目标函数取值最大 ;

系数的计算公式为 : σ j = c j − ∑ c i a i j \sigma_j = c_j - \sum c_i a_{ij} σj=cj−∑ciaij , 其中 c j c_j cj 对应的是非基变量在目标函数系数 , c i c_i ci 是基变量在目标函数中的系数 , a i j a_{ij} aij 是 B − 1 N B^{-1}N B−1N 中的矩阵向量 , 代表一列 ;

σ 1 = c 1 − ( c 3 a 11 + c 4 a 12 ) \sigma_{1} = c_1 - ( c_3 a_{11} + c_4 a_{12} ) σ1=c1−(c3a11+c4a12)

σ 1 = 3 − ( 0 × 2 ) − ( 0 × 1 ) = 3 \sigma_{1} =3 - (0 \times 2) - (0 \times 1) = 3 σ1=3−(0×2)−(0×1)=3 , 是从下面的单纯形表中的如下位置提取的数值 ;

【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 线性规划求解示例 )_单纯形法

σ 2 = c 2 − ( c 3 a 21 + c 4 a 22 ) \sigma_{2} = c_2 - ( c_3 a_{21} + c_4 a_{22} ) σ2=c2−(c3a21+c4a22)

σ 2 = 4 − ( 0 × 1 ) − ( 0 × 3 ) = 4 \sigma_{2} =4 - (0 \times 1) - (0 \times 3) = 4 σ2=4−(0×1)−(0×3)=4 , 是从下面的单纯形表中的如下位置提取的数值 ;

【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 线性规划求解示例 )_运筹学_02

如果这两个系数 , 如果都小于等于 0 0 0 , 该基可行解 ( 0 0 40 30 ) \begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 40 \quad \\ \quad 30 \quad \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛004030⎠⎟⎟⎞ 才是最优解 , 这两个系数都大于 0 0 0 , 因此不是最优解 ;