一、工厂生产产品模型

工厂生产 甲 , 乙 两种产品 ;

生产每种产品 , 都需要使用 4 4 4 种设备按照 A , B , C , D A , B , C , D A,B,C,D 顺序进行加工 ;


产品 / 设备 A A A B B B C C C D D D 利润 ( 元 / 件 )
甲 2 2 2 1 1 1 4 4 4 0 0 0 2 2 2
乙 2 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4 3 3 3
设备可用时间 ( 小时 ) 12 12 12 8 8 8 16 16 16 12 12 12

生产 甲 产品 , 每件产品利润 2 2 2 元 , 需要按顺序使用设备如下 :

  • A A A 设备 2 2 2 小时
  • B B B 设备 1 1 1 小时
  • C C C 设备 4 4 4 小时
  • D D D 设备 0 0 0 小时

生产 乙 产品 , 每件产品利润 3 3 3 元 , 需要按顺序使用设备如下 :

  • A A A 设备 2 2 2 小时
  • B B B 设备 2 2 2 小时
  • C C C 设备 0 0 0 小时
  • D D D 设备 4 4 4 小时




二、问题一 : 生产利润最大化

充分利用上述 4 4 4 台设备 , 生产 甲乙 产品 , 各多少件 , 能获得最大利润 ;


决策变量 : 设 甲产品 生产 x 1 x_1 x1​ 件 , 乙产品 生产 x 2 x_2 x2​ 件 ;

目标函数 : 最终目的是获得利润 , 引入目标函数是利润总和 , 甲产品的利润为 2 x 1 2x_1 2x1​ , 以产品的利润为 3 x 2 3x_2 3x2​ , 最终目标函数为 : m a x Z = 2 x 1 + 3 x 2 maxZ = 2x_1 + 3x_2 maxZ=2x1​+3x2​ ;


约束方程 :

  • 设备 1 1 1 的约束方程 : 设备 1 1 1 的使用时长 , 不能超过 12 12 12 小时 , 甲产品需要使用设备 1 1 1 两个小时 , 乙产品需要使用设备 1 1 1 两个小时 , 生成约束方程 2 x 1 + 2 x 2 ≤ 12 2x_1 + 2x_2 \leq 12 2x1​+2x2​≤12 ;
  • 设备 2 2 2 的约束方程 : 设备 2 2 2 的使用时长 , 不能超过 8 8 8 小时 , 甲产品需要使用设备 2 2 2 一个小时 , 乙产品需要使用设备 2 2 2 两个小时 , 生成约束方程 x 1 + 2 x 2 ≤ 8 x_1 + 2x_2 \leq 8 x1​+2x2​≤8 ;
  • 设备 3 3 3 的约束方程 : 设备 3 3 3 的使用时长 , 不能超过 16 16 16 小时 , 甲产品需要使用设备 3 3 3 四个小时 , 乙产品不需要使用设备 3 3 3 , 生成约束方程 4 x 1 ≤ 16 4x_1 \leq 16 4x1​≤16 ;
  • 设备 4 4 4 的约束方程 : 设备 4 4 4 的使用时长 , 不能超过 12 12 12 小时 , 甲产品不需要使用设备 4 4 4 , 乙产品需要使用设备 4 4 4 四个小时 , 生成约束方程 4 x 2 ≤ 12 4x_2 \leq 12 4x2​≤12 ;

变量约束 : 产品 1 1 1 和产品 2 2 2 的个数必须是大于等于 0 0 0 , 肯定没有负数 ; x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0 x1​≥0,x2​≥0



最终生成的线性规划数学模型为 :


m a x Z = 2 x 1 + 3 x 2 s . t { 2 x 1 + 2 x 2 ≤ 12 x 1 + 2 x 2 ≤ 8 4 x 1 ≤ 16 4 x 2 ≤ 12 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 ) \begin{array}{lcl} maxZ = 2x_1 + 3x_2 \\ \\ s.t\begin{cases} 2x_1 + 2x_2 \leq 12 \\\\ x_1 + 2x_2 \leq 8 \\\\ 4x_1 \leq 16 \\\\ 4x_2 \leq 12 \\ \\x_j \geq 0 & (j = 1 , 2 ) \end{cases}\end{array} maxZ=2x1​+3x2​s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​2x1​+2x2​≤12x1​+2x2​≤84x1​≤164x2​≤12xj​≥0​(j=1,2)​​





三、问题二 : 设备出租问题

如果不生产 甲乙 两种产品 , 转而出租设备 , 制定四种机器的最佳出租价格 ;


隐含条件 :

  • 不吃亏原则 : 出租设备的利润 , 不能低于生产产品的利润 ;
  • 竞争原则 : 在不吃亏的基础上 , 尽量降低机器的总收费 , 提高市场竞争力 ;

企业拥有的资源是

  • A A A 设备 12 12 12 小时可用时间
  • B B B 设备 8 8 8 小时可用时间
  • C C C 设备 16 16 16 小时可用时间
  • D D D 设备 12 12 12 小时可用时间

决策变量 : 将上述设备出租 , 四种设备 , 每种设备都有一个租赁价格 , 分别是 y 1 , y 2 , y 3 , y 4 y_1 , y_2 , y_3 , y_4 y1​,y2​,y3​,y4​ , 单位是 元 / 小时 ;

约束方程分析 :

  • 产品甲利润约束 : 四种设备的租赁价格 , 不能低于生产甲产品带来的利润 , 如果生产产品甲 , 需要使用 A A A 设备 2 2 2 小时 , B B B 设备 1 1 1 小时 , C C C 设备 4 4 4 小时 , D D D 设备 0 0 0 小时 , 四种设备的租赁价格是 2 y 1 + y 2 + 4 y 3 + 0 y 4 2y_1 + y_2 + 4y_3 + 0y_4 2y1​+y2​+4y3​+0y4​ , 该租赁价格总和不能少于 2 2 2 , 因此有约束方程 : 2 y 1 + y 2 + 4 y 3 + 0 y 4 ≥ 2 2y_1 + y_2 + 4y_3 + 0y_4 \geq 2 2y1​+y2​+4y3​+0y4​≥2
  • 产品已利润约束 : 四种设备的租赁价格 , 不能低于生产甲产品带来的利润 , 如果生产产品乙 , 需要使用 A A A 设备 2 2 2 小时 , B B B 设备 2 2 2 小时 , C C C 设备 0 0 0 小时 , D D D 设备 4 4 4 小时 , 四种设备的租赁价格是 2 y 1 + 2 y 2 + 0 y 3 + 4 y 4 2y_1 + 2y_2 + 0y_3 + 4y_4 2y1​+2y2​+0y3​+4y4​ , 该租赁价格总和不能少于 3 3 3 , 因此有约束方程 : 2 y 1 + 2 y 2 + 0 y 3 + 4 y 4 ≥ 3 2y_1 + 2y_2 + 0y_3 + 4y_4 \geq 3 2y1​+2y2​+0y3​+4y4​≥3

变量约束 : 四种设备的租赁价格必须是大于等于 0 0 0 , 肯定没有负数 ; y i ≥ 0 ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) y_i \geq 0 \quad ( i = 1, 2, 3, 4 ) yi​≥0(i=1,2,3,4)


目标函数 : 根据竞争原则 , 设备的租赁价格在不吃亏的前提下 , 尽量最低 , 这里需要求租赁价格的最小值 : m i n W = 12 y 1 + 8 y 2 + 16 y 3 + 12 y 4 min W = 12 y_1 + 8y_2 + 16y_3 + 12y_4 minW=12y1​+8y2​+16y3​+12y4​ , 求最大值没有任何意义 , 该租赁价格可以无限大 ;



线性规划模型为 :

m i n W = 12 y 1 + 8 y 2 + 16 y 3 + 12 y 4 s . t { 2 y 1 + y 2 + 4 y 3 + 0 y 4 ≥ 2 2 y 1 + 2 y 2 + 0 y 3 + 4 y 4 ≥ 3 y j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) \begin{array}{lcl} min W = 12 y_1 + 8y_2 + 16y_3 + 12y_4 \\ \\ s.t\begin{cases} 2y_1 + y_2 + 4y_3 + 0y_4 \geq 2 \\\\ 2y_1 + 2y_2 + 0y_3 + 4y_4 \geq 3 \\ \\y_j \geq 0 & (j = 1 , 2 , 3, 4 ) \end{cases}\end{array} minW=12y1​+8y2​+16y3​+12y4​s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​2y1​+y2​+4y3​+0y4​≥22y1​+2y2​+0y3​+4y4​≥3yj​≥0​(j=1,2,3,4)​​





四、对偶问题引入

上述问题从不同角度出发 , 得到了两个线性规划 :

  • 生产利润最大化线性规划模型 : 有 2 2 2 个变量 , 4 4 4 个约束条件 , 目标函数求最大值 ;

  • 设备租赁线性规划模型 : 有 4 4 4 个变量 , 2 2 2 个约束条件 , 目标函数求最小值 ;



两个线性规划之间的对比 :

  • 生产利润最大化线性性规划模型 中的 x 1 x_1 x1​ 系数是 ( 2 1 4 0 ) \begin{pmatrix} \quad 2 \quad \\\\ \quad 1 \quad \\\\ \quad 4 \quad \\\\ \quad 0 \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​2140​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​ , 对应 设备租赁线性规划模型 中的 约束方程 2 y 1 + y 2 + 4 y 3 + 0 y 4 ≥ 2 2y_1 + y_2 + 4y_3 + 0y_4 \geq 2 2y1​+y2​+4y3​+0y4​≥2系数 ;

  • 生产利润最大化线性性规划模型 中的 x 2 x_2 x2​ 系数是 ( 2 2 0 4 ) \begin{pmatrix} \quad 2 \quad \\\\ \quad 2 \quad \\\\ \quad 0 \quad \\\\ \quad 4 \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​2204​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​ , 对应 设备租赁线性规划模型 中的 约束方程 2 y 1 + 2 y 2 + 0 y 3 + 4 y 4 ≥ 3 2y_1 + 2y_2 + 0y_3 + 4y_4 \geq 3 2y1​+2y2​+0y3​+4y4​≥3系数 ;

  • 生产利润最大化线性性规划模型 中的 约束方程右侧的常数是 ( 12 8 16 12 ) \begin{pmatrix} \quad 12 \quad \\\\ \quad 8 \quad \\\\ \quad 16 \quad \\\\ \quad 12 \quad \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​1281612​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​ , 对应 设备租赁线性规划模型 中的 目标函数 m i n W = 12 y 1 + 8 y 2 + 16 y 3 + 12 y 4 min W = 12 y_1 + 8y_2 + 16y_3 + 12y_4 minW=12y1​+8y2​+16y3​+12y4​系数 ;


  • 生产利润最大化线性性规划模型 中的 目标函数系数 m a x Z = 2 x 1 + 3 x 2 maxZ = 2x_1 + 3x_2 maxZ=2x1​+3x2​ , 对应 设备租赁线性规划模型 中的 约束方程 右侧的常数 ( 2 3 ) \begin{pmatrix} \quad 2 \quad \\\\ \quad 3 \quad \end{pmatrix} ⎝⎛​23​⎠⎞​ ;


两个线性规划之间有上述特征 , 称这两个线性规划问题是对偶问题 ;


生产利润最大化线性性规划模型 是原问题 , 记作 L P LP LP , 设备租赁线性规划模型 是原问题的对偶问题 , 记作 D P DP DP ; 这两个问题之间是有一定联系的 ;