基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;
一、命题与联结词
原子命题 : p , q , r p , q , r p,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;
- 真 : 1 1 1 表示 命题真值 为真 ;
- 假 : 0 0 0 表示 命题真值 为假 ;
联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;
- 否定联结词 : ¬ \lnot ¬
- 合取联结词 : ∧ \land ∧ , p ∧ q p \land q p∧q , p q pq pq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;
- 析取联结词 : ∨ \lor ∨ , p ∨ q p \lor q p∨q , p q pq pq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
- 蕴涵联结词 : → \to → , p → q p \to q p→q , p p p 真 q q q 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
- 等价联结词 : ↔ \leftrightarrow ↔ , p ↔ q p \leftrightarrow q p↔q , p q pq pq 真值相同时为真 , 表示等价成立 , p q pq pq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;
二、命题公式
命题公式 组成 :
① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;
② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;
③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;
④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )
三、命题公式示例
命题公式示例 :
简单命题 : p p p
复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;
¬
p
\lnot p
¬p
(
p
→
q
)
(p \to q)
(p→q) , 最外层的括号可以省略 ,
p
→
q
p \to q
p→q
(
p
→
(
q
→
r
)
)
(p \to (q \to r))
(p→(q→r)) , 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 ,
p
→
(
q
→
r
)
p \to (q \to r)
p→(q→r) ;
四、联结词优先级
联结词优先级 :
“ ¬ \lnot ¬” 大于 “ ∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨” 大于 “ → , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔”
∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨ 优先级相同 ;
→ , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔ 优先级相同 ;
五、真值表
真值表 :
| p p p | q q q | p → q p \to q p→q | p ∧ ¬ q p \land \lnot q p∧¬q | p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p∧(p∨q)↔p |
|---|---|---|---|---|
| 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 | 1 1 1 |
| 0 0 0 | 1 1 1 | 1 1 1 | 0 0 0 | 1 1 1 |
| 1 1 1 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 1 1 1 |
| 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 | 0 0 0 | 1 1 1 |
p → q p \to q p→q 是 可满足式 ;
p ∧ ¬ q p \land \lnot q p∧¬q 是 矛盾式 , 又称为 永假式 ;
p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p∧(p∨q)↔p 是 重言式 , 又称为 永真式 ;
可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;
矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;
可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;
重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;
