文章目录
- abstract
- 命题公式及其赋值
- 命题常项
- 命题变项
- 命题公式
- 合式公式(命题公式)
- 限定基本联结词的合适公式的定义
- 合式公式中的0和1
- 子公式
- **公式的层次定义**
- 分层加括号
- 命题公式的赋值和解释
- 成真赋值@成假赋值
- 公式的书写规范@括号的省略
- 真值表
- 赋值方法数量
- 构造真值表
- 公式分类
abstract
DM@数理逻辑@命题公式及其赋值@真值表@公式分类
命题公式及其赋值
命题常项
- 简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位,其真值式确定的,称为命题常项或命题常元
- 命题常项相当于初等数学中的常数(0,1)
命题变项
- 对应于初等数学中的变量,命题逻辑中有:取值1(真)或0(假)的变元称为命题变项或命题变元
- 用命题变项表示真值可以变换的陈述句
- 命题变项不是命题,其和命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系
命题公式
合式公式(命题公式)
- 将命题变相用联结词和圆括号按一定逻辑关系联系起来的符号串,称为合式公式
- 单个命题变项是合式公式,且称为原子命题公式
限定基本联结词的合适公式的定义
- 当使用联结词集{}时,合式公式定义(递归定义)为:
- 单个命题变项是合式公式
- 若都是合式公式,则,,,是合式公式.不妨称这几个公式为一层公式
- 有限次应用(2)中的方式形成的符号串是合式公式
- 合式公式也成为命题公式,简称公式
- Note:
- 析取联结词不能省略不写
- 任意两个不重叠的子公式都要有二元联结词(中的联结词)链接,例如就不是合式公式,而是合式公式
合式公式中的0和1
- 合适公式可以出现0,1它们分别视为,;两种表示可以相互替换和解释
子公式
- 设为合式公式,是中的一部分(子串),则称是的子公式
公式的层次定义
- 若公式是单个命题变项,则称为0层公式
- 设是层公式,则是层公式
- 称设分别是层公式,且,则是层的()
- 即,,,,的层数是
分层加括号
- 例如:可以通过加括号处理,(对1层及上的子公式加括号)使得计数其层数更加容易:,可以看到,该公式的最深称括号有3层,各层如下
- 0层:,(我们通常对0层不感兴趣)
- 1层:,
- 2层:
- 3层:
- 例:,可以加括号为:;可见其有4层
命题公式的赋值和解释
- 设是出现在公式中的全部命题变项(公式表示为),分别为这个命题变项指定一个真值,称为对公式的一个赋值或解释
- 写法:可以简写为
成真赋值@成假赋值
- 若指定一组值使得为1,记为,称这组值为的成真赋值
- 若,则称这组值为的成假赋值
公式的书写规范@括号的省略
- 为了方便起见,一层公式单独出现的时候,可以省略括号不写,
- 公式中不影响运算次序的括号也可以省去,例如可以简写为
真值表
- 反映公式所有取值及其结果的表称为的真值表
赋值方法数量
- 个命题变项(构成)的公式有种不同的赋值方法
- 将个命题变项(构成)的公式全体构成的集合记为,意味着中公式的真值表有行
构造真值表
总体步骤是,列出个不同的赋值,分别计算它们的真值,具体的操作如下:
- 找出公式中所有的命题变项,列出个赋值
- 赋值从,按二进制加法加1生成下一个赋值,到为止,恰好个赋值
- 公式层次分析:从低层次到高层的顺序分解公式的各个层次
- 对应各个赋值计算各个层次的真值,那么最后一个层次的真值就是整个公式的真值
例:
000 | 1 | 1 | 0 | 1 |
001 | 1 | 0 | 0 | 1 |
010 | 1 | 1 | 1 | 1 |
011 | 1 | 0 | 1 | 0 |
100 | 0 | 0 | 0 | 1 |
101 | 0 | 0 | 0 | 1 |
110 | 0 | 1 | 0 | 1 |
111 | 0 | 0 | 0 | 1 |
- 第1列是赋值,第2,3列是第一层子式,第3列示第3层子式,最后一列是整个公式的真值
- 其中非首尾的各列是为了提高计算正确率的辅助列,并不是一个真值表必须的列
- 第一列也可以看作是0层列,低层的列可以帮助计算高层的列,减少重复计算
公式分类
- 若在所有赋值下取值均为真,则称为重言式或永真式(的真值表最后一列全为1)
- 若在它的所有赋值下取值均为假,则称为矛盾式或永假式(的真值表最后一列全为0)
- 若不是矛盾式,则使可满足式,特别的,若至少存在一个成假赋值,则称为非重言可满足式