DM@命题逻辑@联结词完备集

文章目录

abstract

• $n$元真值函数和$n$元命题公式间的对应关系
• 由$n$元真值函数引入联结词的完备集概念

• 这从理论上解释了为什么仅使用$\neg,\vee,\wedge$三个联结词就可以表示任意命题公式
• 甚至可以用更少的联结词(比如2个或1个)来描述任意命题公式
• 高级联结词与非联结词和或非联结词可以单独构成联结词完备集

联结词的完备集

$n$元真值函数

• 定义$F:\{0,1\}^{n}\to{0,1}$为**$n$元真值函数**

• 函数$F$的自变量为$n$个命题变项
• 定义域$\{0,1\}^{n}$=$\{0\cdots{0},0\cdots{1},\cdots,1\cdots1\}$,即有$0,1$组成的长度为$n$的符号串全体
• 值域为$\{0,1\}$

• $n$个命题变项可以构成$2^{2^{n}}$个不同的真值函数(类比于$n$元命题公式共有$2^{2^{n}}$张不同的真值表)

• 不妨设所有$n$元函数全体构成的函数集合为$S(n)$
• 函数$f_1(x_1,\cdots,x_n)\in{S(n)}$在$2^{n}$个赋值下分别有$2^{n}$个函数值,记为$f_1(\bold{x}_1),\cdots,f_1(\bold{x}_n)$
• 类似的设函数$f_j$在$2^{n}$个赋值下的$2^{n}$个函数值,记为$f_2(\bold{x}_1),\cdots,f_2(\bold{x}_n)$
• 若存在$r\in{\{1,\cdots,2^n\}}$使得$f_1(\bold{x}_r)\neq{f_2(\bold{x}_r)}$说明$f_1,f_2$是不同的函数,否则相同
• 显然,$f(\bold{x}_i)$函数取值仅有2种可能(0或1),$i=1,\cdots,2^{n}$;若逐个指定$f$在$2^{n}$个自变量赋值下的函数值,将这$2^{n}$个函数值构成的序列记为$y_1\cdots y_{2^n}$($y_i\in\{0,1\}$,$i=1,\cdots,2^{n}$),则可以构成$2^{2^{n}}$个不同的序列,对应$2^{2^{n}}$个真值表(函数)

• 在不需要讨论具体函数而只需知道其变量个数时,不妨将$n$元真值函数记为$F^{(n)}$,若需要区分不同的函数,则指定下标:$F_{i}^{(n)}$

• 例如,一元真值函数有$2^{2^{1}}=4$个

0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

真值函数和命题公式的对应关系

• 每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式,每个命题公式又都有唯一等值的主析取范式
• 主合取范式和主析取范式相仿
• 每个真值函数对应于无穷多个等值的命题公式,每个命题公式又都对应唯一的真值函数

联结词完备集

• 设$S$是一个联结词集合,若任何$n(n\geqslant{1})$元真值函数都可以由仅含$S$中的联结词构成的公式表示,则$S$是联结词完备集
• $S=\{\neg,\vee,\wedge\}$是联结词完备集
• 证明:

• 任何$n(n\geqslant{1})$元真值函数都可以表示成唯一的一个主析取范式(真值函数$\to$(变量-函数值表)真值表$\to$主析取范式)
• 而主析取范式中仅含$\{\neg,\vee,\wedge\}$中的联结词,所以$S=\{\neg,\vee,\wedge\}$是联结词完备集

推论

• 设$S$是一个联结词完备集

• 若为$S$添加更多联结词,得到$S_0$,则$S_0$也是完备集(包含冗余)

• 例如:{$\neg,\vee,\wedge,\to$};{$\neg,\vee,\wedge,\to,\leftrightarrow$}

• 若$S$中的某个联结词$c_0$可以被$S$中的其他联结词(设它们构成$S$的子集$S_0$)表示,则$S_0$也是联结词完备集

1. $S_1$={$\neg,\vee$}

• 因为$p\wedge{q}$ $\Leftrightarrow$ $\neg{(\neg{p}\vee{\neg{q}})}$

2. $S_2$={$\neg,\wedge$}

• 因为$p\vee{q}$ $\Leftrightarrow$ $\neg{(\neg{p}\wedge{\neg{q}})}$

• 若联结词完备集$S$能被另一个联结词集合$S_0$中的联结词表示简称$S$能被$S_0$表示,则$S_0$也是联结词完备集

3. $S_3$={$\neg,\to$}

• 考虑到$p\to{q}$ $\Leftrightarrow$ $\neg{p}\vee{q}$以及$p=\neg{\neg{p}}$
• 有$p\vee{q}$ $\Leftrightarrow$ $\neg\neg{p}\vee{q}$ $\Leftrightarrow$ $\neg{p}\to{q}$
• 可见$S_3$能够表示$S_2$,所以$S_3$也是联结词完备集

常见的复合(高级)联结词

与非联结词

• 设$p,q$是两个命题,复合命题"$p$与(合取)$q$的否定式"$(\neg{(p\wedge{q})})$称作$p,q$的与非式,记为$p\uparrow{q}=\neg{(p\wedge{q})}$
• $\uparrow$是与非联结词
• 显然$p,q$不同时为真时,$p\uparrow{q}$为真

p	q
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

或非联结词

• 复合命题"$p$或(析取)$q$的否定式"称作$p,q$的或非式,记为$p\downarrow{q}$=$\neg(p\vee{q})$
• $\downarrow$称为或非联结词
• 显然仅当$p,q$同时为假时$p\downarrow{q}$为真

p	q	$\uparrow$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

两个复合联结词的完备性

• {$\uparrow$},{$\downarrow$}都是联结词完备集

• $\neg{p}$ $\Leftrightarrow$ $p\uparrow{p}$ $\Leftrightarrow$ $p\downarrow{p}$
• $p\wedge{q}$ $\Leftrightarrow$ $(p\uparrow{q})\uparrow({p\uparrow{q}})$
• $p\vee{q}$ $\Leftrightarrow$ $(p\downarrow{q})\downarrow{(p\downarrow{q})}$
• 又因为$\{\neg,\vee\}$,$\{\neg,\wedge\}$,都是完备集,所以结论成立