【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )

原创

韩曙亮_ 2022-03-08 17:06:45 博主文章分类：数学 ©著作权

文章标签 命题逻辑推理推理定律假言三段论假言推理构造性两难 文章分类 代码人生

©著作权归作者所有：来自51CTO博客作者韩曙亮_的原创作品，请联系作者获取转载授权，否则将追究法律责任

文章目录

一、推理的形式结构
二、推理定律

一、推理的形式结构

推理的形式结构

前提 : A 1 , A 2 , ⋯ , A k A_1 , A_2 , \cdots , A_k A1,A2,⋯,Ak

结论 : B B B

推理的形式结构为 : ( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) → B (A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B (A1∧A2∧⋯∧Ak)→B

二、推理定律

推理定律 : A , B A,B A,B 是两个命题 , 如果 A → B A \to B A→B 是永真式 , 那么 A ⇒ B A \Rightarrow B A⇒B ;

1、附加律

附加律 : A ⇒ ( A ∨ B ) A \Rightarrow (A \lor B) A⇒(A∨B)

根据 推理定律 , A → ( A ∨ B ) A \to (A \lor B) A→(A∨B) 蕴含式是永真式 ;

前提 : A A A

结论 : A ∨ B A \lor B A∨B

A A A 是对的 , 那么 A ∨ B A \lor B A∨B 也是对的 , 后者是在前者基础上附加了一个 B B B ;

2、化简律

化简律 : ( A ∧ B ) ⇒ A ( A \land B ) \Rightarrow A (A∧B)⇒A , ( A ∧ B ) ⇒ B ( A \land B ) \Rightarrow B (A∧B)⇒B

根据 推理定律 , ( A ∧ B ) → A ( A \land B ) \to A (A∧B)→A , ( A ∧ B ) → B ( A \land B ) \to B (A∧B)→B 蕴含式是永真式 ;

前提 : A ∧ B A \land B A∧B

结论 : A A A 或 B B B

A ∧ B A \land B A∧B 是对的 , 那么 A A A 或 B B B 也是对的 , 后者是在前者基础上进行了化简 ;

3、假言推理

假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B (A→B)∧A⇒B

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ A → B ( A \to B ) \land A \to B (A→B)∧A→B 蕴含式是永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , A A A

结论 : B B B

这是个典型的小三段论 ;

4、拒取式

拒取式: ( A → B ) ∧ ¬ B ⇒ ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \Rightarrow \lnot A (A→B)∧¬B⇒¬A

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ¬ B → ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \to \lnot A (A→B)∧¬B→¬A 蕴含式是永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , ¬ B \lnot B ¬B

结论 : ¬ A \lnot A ¬A

可以理解为是反证法 ;

5、析取三段论

析取三段论 : ( A ∨ B ) ∧ ¬ A ⇒ B ( A \lor B ) \land \lnot A \Rightarrow B (A∨B)∧¬A⇒B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B ⇒ A ( A \lor B ) \land \lnot B \Rightarrow A (A∨B)∧¬B⇒A

根据 推理定律 , ( A ∨ B ) ∧ ¬ A → B ( A \lor B ) \land \lnot A \to B (A∨B)∧¬A→B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B → A ( A \lor B ) \land \lnot B \to A (A∨B)∧¬B→A 蕴含式是永真式 ;

前提 : A ∨ B A \lor B A∨B , ¬ A \lnot A ¬A

结论 : B B B

( A ∨ B ) (A \lor B) (A∨B) 是正确的 , 其中 A A A 是错误的 , 那么 B B B 肯定是正确的 ;

( A ∨ B ) (A \lor B) (A∨B) 是正确的 , 其中 B B B 是错误的 , 那么 A A A 肯定是正确的 ;

警察破案常用推理方式 , 逐一排除嫌疑人 ;

6、假言三段论

假言三段论 : ( A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \Rightarrow ( A \to C ) (A→B)∧(B→C)⇒(A→C)

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ( B → C ) → ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \to ( A \to C ) (A→B)∧(B→C)→(A→C) 蕴含式是永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , B → C B \to C B→C

结论 : A → C A \to C A→C

7、等价三段论

等价三段论: ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C ) ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) \Rightarrow ( A \leftrightarrow C ) (A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)

根据 推理定律 , ( ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ) → ( A ↔ C ) ( ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) ) \to ( A \leftrightarrow C ) ((A↔B)∧(B↔C))→(A↔C) 蕴含式是永真式 ;

前提 : A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B , B ↔ C B \leftrightarrow C B↔C

结论 : A ↔ C A \leftrightarrow C A↔C

8、构造性两难

等价三段论: ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D ) ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) \Rightarrow ( B \lor D ) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D)

根据 推理定律 , ( ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ) → ( ( B ∨ D ) ) ( ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) ) \to ( ( B \lor D ) ) ((A→B)∧(C→D)∧(A∨C))→((B∨D)) 蕴含式是永真式 ;