矩阵实验
- 矩阵
- 工程应用：图像平滑
- 看待矩阵的四种视角：数据、系统、变换、空间
- 线性变换
- 工程应用：图形变化
- 矩阵变化的推导
- 总结
矩阵
在线性代数里，用的最多的概念是【矩阵】。
一个具体的矩阵：
一个抽象的矩阵：
矩阵，是把数字按照横竖排起来。
- 您看上图，前一个是
行
列 (
)，后一个是
列 (
)。
来源：向量的扩展，向量是横着的一排数字，每个数字代表一个维度的分量。
- 比方说，学生的考试科目，是有
那在年纪成绩评比时，通常是按所有维度算的 ->
而评比单科王是按一个维度算的 ->
还有一些可能只是按基础算 ->，可以用来计算和某个候选人的相似性。
每一个评比的要求都是一个向量，而又有这么多评比，所以就有了。
这么多向量如果把它们放在一起，该怎么排列呢？
如同所示，这种把向量按照横竖排起来的摆放方式，是很自然的结果，只不过数学家给它取了一个名字：矩阵，并且发现了一系列相应的计算。
所以说，矩阵就是把向量按照横竖排起来的摆放方式而得来的，矩阵不是原因，而是结果，矩阵产生的原因就是向量的扩展。
作用，是将以前的单个计算（俩个元素的加减乘除）变成了批处理（俩个矩阵的加减乘除）。
如：
- 俩个元素之间的计算：
- 俩个矩阵之间的批处理：
正是这种计算方式，将以前的单个计算（俩个元素的加减乘除）变成了批处理（俩个矩阵的加减乘除）。
这种批处理的计算，与计算机搭配起来，简直是绝配 — 所以，线性代数对于我们来说，生活和工作都能用上。
运算：矩阵加法、矩阵数乘、矩阵乘法。
- 矩阵加法：
，前提是俩个相加的矩阵的行列相同
- 矩阵数乘：
- 矩阵乘法：
第一个矩阵的形状是，第二个矩阵的形状是
，俩俩相乘的矩阵是
，中间的
被划掉了 ---- 因此俩个矩阵相乘需要满足一个条件，乘号前的矩阵的 列数 要等于后面矩阵的 行数。
矩阵乘法很重要吧，我在编程时经常听别人说起，况且那时候并没有学工程数学。
- 先确定生成矩阵的尺寸，乘号前的矩阵的 列数 要等于后面矩阵的 行数；
- 生成矩阵的第
行第
列的值为：前面矩阵第
矩阵乘法就
- 矩阵卷积(二维)：矩阵
以某个步长在 矩阵
表面 滑动加权求和。
演示一下卷积过程，
接着矩阵 从矩阵
的 左上角 准备滑动，如下图：
黄色区域的元素相乘，得到 个
，相加值为
。
假设设定的滑动步长为
继续滑动，对应位置相乘再求和得到 ，如下图：
继续滑动，对应位置相乘再求和得到 2，如下图：
…，最终矩阵卷积生成的矩阵，对比 矩阵
矩阵 (小矩阵)，也被称为“卷积核”、“滤波器”；矩阵卷积也是卷积神经网络的原理。
工程应用：图像平滑
上面所说的矩阵卷积是二维的，因此我们以灰色图为例，彩色图是三维的。
图片是由很多
- 如果像素是
，那像素即黑色；
- 如果像素是
，那像素即白色；
而矩阵正好有行、列，我们可以把图片转为矩阵，通过操控矩阵来改变图片。
图片平滑：让一张清晰的图片变模糊。
因为图片的像素值反应了一个图片的亮度，如果我们把图片中的像素值和周围的像素值相似，那整个图片的色调就差不多，也变模糊了。
而图片平滑的过程和矩阵卷积的过程是一样的，最核心的地方就是设计卷积核。
图像平滑算法：
- 设计一个卷积核，使得图像矩阵的每一个像素值尽可能的与周围的像素值接近，这张图片每部分就会差不多；
- 积核尺寸、滑动步长、周边范围等超参数设计，以需求而定；
- 需要考虑一个细节，矩阵卷积生成的矩阵会缩小一圈，图片也会变小一圈；解决方法是在矩阵A最外围补一圈零。
# 运行：在命令行输入 python 当前源文件.py
import numpy as np
from PIL import Image # 图片处理模块
from scipy import signal
# 1.读取一张图片
filename = "./demo.png"
img_rgb = Image.open(filename)
img_rgb.show()
# 2.将彩色图片转为灰度图
img_gray = img_rgb.convert('L')
img_gray.show()
# 3.将灰度图转为像素矩阵
matrix = np.asarray(img_gray)
print("matrix.shape=", matrix.shape)
# 4.定义卷积核（均值滤波器）
filter_3x3 = np.array([[ 1/9, 1/9, 1/9 ],
[ 1/9, 1/9, 1/9 ],
[ 1/9, 1/9, 1/9 ]])
print("filter_3x3=", filter_3x3.shape) # 采用的 3*3 的过滤器
print(np.around(filter_3x3, decimals=2)) # 打印图片的像素值
# 5.开始卷积（图像平滑）
result = signal.convolve2d(matrix, filter_3x3, mode='same')
print("result.shape=", result.shape)
print(np.around(result, decimals=0))
# 6.把像素矩阵转回图片
img_rlt = Image.fromarray(result)
img_rlt.show()读取的图片 demo.png：
简单起见，转为黑白图片（二维）：
调用图像平滑算法：
有些模糊了，但 可能不太明显，可以改为
- filter_3x3 改为 filter_7x7
# 7x7的，均值是 1/49
filter_7x7 = np.ones((7,7)) / (7*7)除此之外，卷积核还可以改进，一般采用高斯分布(在保留细节方面，图片平滑效果最好)，因此也称为 “高斯滤波器”。
二维高斯分布：
在 的 矩阵
# 7x7 高斯滤波器
gaussian_filter_7x7 = np.array([ [ 0.00000067, 0.00002292, 0.00019117, 0.00038771, 0.00019117, 0.00002292, 0.00000067],
[ 0.00002292, 0.00078633, 0.00655965, 0.01330373, 0.00655965, 0.00078633, 0.00002292],
[ 0.00019117, 0.00655965, 0.05472157, 0.11098164, 0.05472157, 0.00655965, 0.00019117],
[ 0.00038771, 0.01330373, 0.11098164, 0.22508352, 0.11098164, 0.01330373, 0.00038771],
[ 0.00019117, 0.00655965, 0.05472157, 0.11098164, 0.05472157, 0.00655965, 0.00019117],
[ 0.00002292, 0.00078633, 0.00655965, 0.01330373, 0.00655965, 0.00078633, 0.00002292],
[ 0.00000067, 0.00002292, 0.00019117, 0.00038771, 0.00019117, 0.00002292, 0.00000067] ])
# 调用的时候，将 filter_3x3 改为 gaussian_filter_7x7。除此之外，还可以实现图片的边缘检测(应用在自动驾驶的车道检测、计算机视觉基础等等)。
# 第 4 步，定义卷积核改为定义算子
sobel = np.array([[ -1, -2, -1 ],
[ 0, 0, 0 ],
[ 1, 2, 1 ]])
# 调用语句 result = signal.convolve2d(matrix, filter_3x3, mode='same')
result = signal.convolve2d(matrix, sobel, mode='same')左边是原图，右边是效果图（边缘检测算法）：
看待矩阵的四种视角：数据、系统、变换、空间
学线代时，可能比较注重具体的计算，但学完了却发现对线代的理解还是不够深刻。
一个可能的原因是，没有特别深刻的理解，我们在代数中的这些符号，比如说 矩阵，这个 矩阵
代数，是用字母代表数，但我们到底代表的是哪些数…在更加抽象的数学里，我们的代数代表的不仅仅是数，而是一个对象。
那么，代表的这个对象是什么？
这个就是我们要明确的。
看待矩阵的四种视角：
- 数据：把矩阵看成数据，
行
列，每一行代表一个样本，每一列代表一个特征，多用于数据科学；
- 系统：把矩阵看成线性系统（中学的多元一次方程组），那求解那些线性方程组就可以用矩阵运算，多用于计算线性代数的线性方程组；
- 变换：把矩阵看成对向量的一个函数，或者说是一种变换，因为一个矩阵和一个向量相乘，得到结果依然是向量，可以把矩阵看成输入一个向量，输出一个向量的函数，多用于图形学的图像图形的变化；
- 空间：把矩阵看成一个空间，这样看一个矩阵乘一个向量，就是向量在矩阵所表示的空间中所对应的位置是哪里，多用于线性代数的向量空间。
线性变换
矩阵可不仅仅是只能处理图片的数字表格，试着换一种角度看矩阵：变换。
- 矩阵乘法：
，画在几何。
(红色) 经过
得到 另一个向量(绿色)，
只不过，在线性代数里，我们称
若我们把矩阵看做一个变换，图形变换就会十分方便。
图形变换：图形的缩放、旋转、仿射等等，也用于游戏开发、动漫制作等等。
工程应用：图形变化
或许您应该有一个疑问，矩阵，是怎样实现图形变换的 ？？？
图形的变化：
- 图形旋转
- 图形平移
- 图形放大
- 图形缩小
- 图形翻转
- 图形剪切（正体 变斜体）
- … …
比如，这个是怎么做到的：
经过旋转：
先考虑一个小问题吧，怎么使得一个图形绕
其实，黄色的梯形是由 个点组成，经历
个点的坐标，也就是
首先，我们让 翻转，翻转后也就是
。
现在我们改为以矩阵的形式翻转：
我们需要做的就是找到一个能使其转换完成的 ，因为输入的矩阵和输出的矩阵都是同行同列(2行, 1列)，根据矩阵乘法的要求，
得到一个式子：
- 令
则有：
我们确定好
- 因为
，推出
；
- 因为
， 推出
；
所以，矩阵 。
可这个翻转计算只是针对 ，为了提高计算效率（批处理），我们把
矩阵
以上是图形的左右翻转(绕
图形的上下翻转(绕
线性变换，也可以实现图形的水平剪切。
剪切：把 正体字 变成 斜体字，就是一个剪切。
图形的水平剪切如上图，纵坐标不变，横坐标运动。
结合矩阵：，有一个控制系数
.
根据矩阵乘法 ，令 则有：
通过对比系数，，当
时，往右剪切；当
图形的竖直剪切如下图，纵坐标运动，横坐标不变。
变换矩阵：，注意
完整代码：
# 运行：在命令行输入 python 当前源文件.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 1.定义变换矩阵A，用于图形平移(竖直平移)
A = np.array([[1,0],[0,-1]])
# 1.定义变换矩阵A，用于图形剪切
# k = -0.8
# A = np.array([[1,0],[k,1]])
# 1.定义变换矩阵A，图形旋转
# theta = -(3.14/4)
# A = np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta)],[-np.sin(theta),np.cos(theta)]])
# 1.定义变换矩阵A，图形整体放大 1 倍
# A = np.array([[2,0],[0,-2]])
# 1.定义变换矩阵A，图形整体缩小 0.75 倍
# A = np.array([[0.5,0],[0,0.5]])
# 2. 定义输入矩阵（即输入图形）
B = np.array([[0, 1, 1, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 1]])
# 3. 计算输出矩阵（矩阵乘法）
Y = np.dot(A,B)
# 4. 绘制图形
plt.axis([-3,3,-3,3])
plt.axvline(x=0, color='#A9A9A9')
plt.axhline(y=0, color='#A9A9A9')
plt.grid(True)
plt.plot(B[0],B[1],'-yo',lw=2) # 绘制输入图形
plt.plot(Y[0],Y[1],'-go',lw=2) # 绘制输入图形
plt.show()具体用法，请往下看。
图形平移：
- 竖直平移的变换矩阵是：
，水平平移的变换矩阵是：
。
# 1.定义变换矩阵A，用于图形平移(竖直平移)
A = np.array([[1,0],[0,-1]])
图形剪切：
- 水平剪切的变换矩阵是：
，竖直剪切的变换矩阵是：
， 会影响方向。
# 1.定义变换矩阵A，用于图形剪切
k = -0.8
A = np.array([[1,0],[k,1]])
图形放大：
水平放大的矩阵是：，竖直放大的变换矩阵是：
# 1.定义变换矩阵A，图形整体放大 1 倍
A = np.array([[2,0],[0,2]])
图形缩小同理。
图形旋转：
- 逆时针旋转的变换矩阵是：
，顺时针旋转的变换矩阵是：
。
# 1.定义变换矩阵A，图形旋转
theta = -(3.14/4)
A = np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta)],[-np.sin(theta),np.cos(theta)]])
旋转的角度最复杂，我们可能不太清楚这个角度是怎么来的。
矩阵变化的推导
我们推导一下，图形旋转的变化过程。
推导的前置知识：高中的三角函数。
不一定要每一步都弄明白，但要知道我们可以把矩阵看成一种对向量的变换（函数），这个很重要，理解的越深刻越好。
我们看最简单的情况，如下图。
蓝色的向量旋转 度角得到红线 ，如果我们设这个变换的矩阵为
，则有这样一个式子：
- 令
，则有：
。
因为是经过旋转得到的，因此新的坐标和原来的坐标一定是有联系的，这个联系就是角度 。
推导过程：
- 设向量(蓝色)的模为
，由三角关系式得到：
，即
；
，即
。
- 向量(红色)由于仅有旋转没有伸缩，因此红色向量的模依然是
，即
；
，即
,
，比对系数确定
，一步步化简得到最后的。
，这个结果就是变换 矩阵
图形旋转角度就是这么推导过来的，在《数学女孩 4》的矩阵 — 线性变换一节，里面就有其TA图形变换的推导过程。
总结
第一部分，介绍了矩阵、来源、运算，工程应用是矩阵卷积，趁热打铁去搞定卷积网络吧。
第二部分，介绍了看待矩阵的四种视角，我们选的是变换，工程应用是图形图像处理。
归根结底，是函数表示变换。任意函数都是从输入到输出的变换。矩阵可以看做是向量的函数：）
这种变换，还可以扩展到三维空间，比如说电视成像、转播。
电视机成像的原理大概是，通过一把电子枪，把电子打到屏幕上：
不过对于这样的彩色图片一把电子枪是不够的：
可以把这幅图片以 红色、绿色、蓝色 为基，分为三张图片：
用三把电子枪分别把 红色、绿色
、蓝色
电视转播则不同，信号不是以 红色、绿色
、蓝色
不是靠三原色 传递，而是通过
、
，采用亮度-色差来描述颜色的颜色空间
彩色电视机背后有 、
接口，完整地插入
、
- 若是接入
，可产生黑白图像；
- 若是再接入
、
将 转换为
、
，这个过程也是矩阵函数的一个实例：
加油：）
