1. 分类计数原理
做一件事情，完成它可以有 \(n\) 类办法，在第一类办法中有 \(a_1\) 种不同的方法，在第二类办法中有 \(a_2\) 种不同的方法，……，在第 \(n\) 类办法中有 \(a_n\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(a_1 + a_2 + \ldots + a_n\) 种不同的方法。
例：小明的书包里有 \(3\) 本数学书，\(5\) 本英语书，\(8\) 本科学书。随机从书包里拿出一本书，有 _____ 种不同的可能。
答案：\(3 + 5 + 8 = 16\) 种。
2. 分步计数原理
做一件事情，完成它需要分成 \(n\) 个步骤，做第一步有 \(a_1\) 种不同的方法，做第二步有 \(a_2\) 种不同的方法，……，做第 \(n\) 步有 \(a_n\) 种不同的方法，那么完成这件事有 \(a_1 \times a_2 \times \ldots \times a_n\) 种不同的方法。
例：餐厅里有 \(3\) 种不同的主食，\(2\) 种不同的甜品，\(4\) 种不同的饮料。现在从中选出一种主食、一种甜品、一种饮料作为小明今天的早餐。有 _____ 种不同的方案。
答案：\(3 \times 2 \times 4 = 24\) 种。
3. 排列
排列的概念： 从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m(m \le n)\) 个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列。
排列数的定义： 从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m(m \le n)\) 个元素的所有排列的个数叫做从 \(n\) 个元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(A_n^m\) 表示。
排列数公式： \(A_n^m = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times (n-m+1)\)
阶乘： \(n!\) 表示正整数 \(1\) 到 \(n\) 的连乘积，读作“\(n\)的阶乘”，规定 \(0!=1\)。
排列数的另一个计算公式： \(A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}\)
例：从 \(1,2,3,4,5\) 中选出两个数组成一个没有重复数字的两位数，共有 _____ 种不同的方案。
答案：\(A_5^2 = 5 \times 4 = 20\) 种。
4. 组合
组合的概念： 从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m(m \le n)\) 个元素并成一组，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合。
组合数的概念： 从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m(m \le n)\) 个元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数，用符号 \(C_n^m\) 表示。
组合数公式： \(C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)
组合数的性质：
- \(C_n^m = C_n^{n-m}\)。规定：\(C_n^0 = 1\)；
- \(C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}\)。
例：从 \(10\) 位同学中选出 \(3\) 位同学去参加信息学竞赛，共有 _____ 种不同的可能。
答案：\(C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\) 种。
5. 概率简介
随机事件： 如果我们做一个试验，这个试验满足如下两个条件：
- 试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
- 每一个试验的结果出现的可能性相同。
则我们这这个试验为随机试验，也称为随机事件。
我们用 \(P(A)\) 来表示事件 \(A\) 发生的概率。
- 必然事件：必定发生的事件。比如：太阳从东方升起。必然事件的概率 \(P(A)=1\)。
- 不可能事件：必定不发生的事件。比如：太阳从西边升起。不可能事件的概率 \(P(A)=0\)。
古典概型： （你可以把古典概型理解成比较古典的计算概率的方法，这套概念大概在古希腊苏格拉底那个年代被提出，包括高考中涉及概率的内容也最多是古典概率这块）
在古典概型中，事件的概率为 \(P(A) = \frac{m}{n}\)。其中：
- \(n\) 表示试验的基本事件总数（即所有可能的情况数）；
- \(m\) 表示事件 \(A\) 成立对应的事件数。
例：投掷两粒均匀的骰子，出现两个 \(5\) 点的概率为（ ）。
A. \(\frac{1}{36}\) B. \(\frac{1}{18}\) C. \(\frac{1}{6}\) D. \(\frac{5}{12}\)
答案：\(A\)。因为基本事件有 \(6 \times 6 = 36\) 种，而“两个\(5\)点” 对应的事件只有一种。所以其对应的概率为 \(\frac{1}{36}\)。
