处理动态中位数等问题，灵活运用了堆的性质，本质是维护两个堆。

大根堆Q1：维护集合中较小值的部分的最大值。

小根堆Q2：维护集合中较大值的部分的最小值。

注意到两个堆中的元素各自是单调的，两个堆间也是单调的。也就是说，Q1中的任何一个元素都不大于Q2中的任何一个元素。

那么假设高度为权值，两个堆可以形象化的表示成：

对顶堆_中位数

如果两个堆的大小相差不超过1，较大的那个堆的堆顶必定是中位数（偶数个数时中位数是排序后中间的两个之一）

UPD: 图中的 Q1和 Q2 标反了，权值是越高越大。

具体操作


  • 插入
    先找到当前正确的集合插入，比较与堆顶的大小关系，大于小根堆的堆顶就插入大根堆，反之小根堆。
    调整两个堆的大小关系，因为两个堆不管是总体上还是各自内都是满足单调性的，所以每次取更大的堆的堆顶，插入另一个堆，直到两个堆的大小相差不超过1。
    代码使用的是STL的priority_queuepriority_queue，默认大根堆所以Q1需要通过相反数实现。

void insert(int x)
{
  if (!q2.size() || x > q2.top()) 
    q2.push(x);
  else 
    q1.push(x);
  if (q1.size() > q2.size() + 1) { 
    q2.push(q1.top()); 
    q1.pop(); 
  }
  if (q2.size() > q1.size() + 1) { 
    q1.push(q2.top()); 
    q2.pop(); 
  }
}
  • 查询直接输出比较大的堆的堆顶就好，注意Q1的输出。
if (i & 1){
  printf("%d ", q1.size() > q2.size() ? q1.top() : q2.top());
}
  • 扩展
    动态K大值：维护思想不变，只需要让Q1的大小为K即可。
    带删除K大值//中位数：手写可删堆//打标记懒惰删除法