想必大家一定会Floyd了吧,Floyd只要暴力的三个for就可以出来,代码好背,也好理解,但缺点就是时间复杂度高是O(n³)。
于是今天就给大家带来一种时间复杂度是O(n²),的算法:Dijkstra(迪杰斯特拉)。
这个算法所求的是单源最短路,好比说你写好了Dijkstra的函数,那么只要输入点a的编号,就可算出图上每个点到这个点的距离。
我先上一组数据(这是无向图):
5 6
1 2 5
1 3 8
2 3 1
2 4 3
4 5 7
2 5 2
图大概是这个样子:
我们以1为源点,来求所有点到一号点的最短路径。
先建立一个dis数组,dis[i]表示第i号点到源点(1号点)的估计值,你可能会问为什么是估计值,因为这个估计值会不断更新,更新到一定次数就变成答案了,这个我们一会再说。
然后我们在建立一个临界矩阵,叫做:map,map[i][j]=v表示从i到j这条边的权值是v。
dis初始值除了源点本身都是无穷大。源点本身都是0.
先从1号点开始。一号点,map[1][2]=5,一号点离2号点是5,比无穷大要小,所以dis[2]从无穷大变成了5。顺便,我们用minn记录距离1号点最短的点,留着以后会用。
dis[0,5,∞,∞,∞]。minn=2。
然后搜到3号点,map[1][3]=8,距离是8,比原来的dis[3]的∞小,于是dis[3]=8。但是8比dis[2]的5要大,所以minn不更新。
dis[0,5,8,∞,∞]
接着分别搜索4,5号点,发现map[1][4],map[1][5]都是∞,所以就不更新。
现在,dis数组所呈现的明显不是最终答案,因为我们才更新一遍,现在我们开始第二次更新,第二次更新以什么为开始呢?就是以上一次我们存下来的,minn,相当于把2当源点,求所有点到它的最短路,加上它到真正的源点(1号点)的距离,就是我们要求的最短路。
从2号点开始,搜索3号点,map[2][3]=1,原本dis[3]=8,发现dis[2]+map[2][3]=5+1=6<dis[3](8)所以更新dis[3]为6,minn=3
dis[0,5,6,∞,∞] minn=3.
然后搜索4号点,map[2][4]=3,原本dis[4]=∞,所以,dis[2]+map[2][4]=5+3=8<dis[4](∞)所以更新dis[4]=8,因为map[2][4]=3,3>1,minn不更新。
dis[0,5,6,8,∞] minn=3.
接着搜索5号点,map[2][5]=2,5+2=7,7<∞,dis[5]=7minn不变。
dis[0,5,6,8,7]
二号点搜完,因为minn是3,继续搜索3号点。
三号点还是按照二号点的方法搜索,发现没有可以更新的,然后搜索四号。
四号搜5号点,发现8+7>5+2,所以依然不更新,然后跳出循环。
现在的估计值就全部为确定值了:
dis[0,5,6,8,7]
这就是每个点到源点一号点的距离,我们来看一下代码(与上文不同,这个是模板):
#include <iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define inf 1<<29
#define MAXV 1005
int map[MAXV][MAXV];
int n,m;
void dijkstra(){
int i,j,min,v;
int d[MAXV];
bool vis[MAXV];
for(i=1;i<=n;i++){
vis[i]=0;
d[i]=map[1][i];
}
for(i=1;i<=n;i++){
min=inf;
for(j=1;j<=n;j++)
if(!vis[j] && d[j]<min){
v=j;
min=d[j];
}
vis[v]=1;
for(j=1;j<=n;j++)
if(!vis[j] && d[j]>map[v][j]+d[v])
d[j]=map[v][j]+d[v];
}
printf("%d\n",d[n]);
}
int main(){
int i,j,a,b,c;
while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==j)
map[i][i]=0;
else
map[i][j]=map[j][i]=inf;
for(i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(map[a][b]>c)
map[a][b]=map[b][a]=c;
}
dijkstra();
}
return 0;
}