python 稀疏矩阵与稠密矩阵运算关系矩阵稀疏度

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colddawn 2023-12-18 20:14:37

文章标签 矩阵算法线性代数稀疏矩阵数据 文章分类 Python 后端开发

1.背景

在数据科学和深度学习等领域常会采用矩阵格式来存储数据，但当矩阵较为庞大且非零元素较少时，如果依然使用dense的矩阵进行存储和计算将是极其低效且耗费资源的。所以，通常我们采用Sparse稀疏矩阵的方式来存储矩阵，提高存储和运算效率。下面将对SciPy中七种常见的存储方式(COO/ CSR/ CSC/ BSR/ DOK/ LIL/ DIA)的概念和用法进行介绍和对比总结。

2.稀疏矩阵简介

2.1 稀疏矩阵

稀疏矩阵

在数值分析中，是其元素大部分为零的矩阵。
在矩阵中，若数值0的元素数目远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律

矩阵的稠密度

非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数。

2.2 压缩存储

存储矩阵的一般方法是采用二维数组，其优点是可以随机地访问每一个元素，因而能够容易实现矩阵的各种运算，如转置运算、加法运算、乘法运算等。

对于稀疏矩阵，它通常具有很大的维度，有时甚大到整个矩阵(零元素)占用了绝大部分内存。

采用二维数组的存储方法既浪费大量的存储单元来存放零元素，又要在运算中浪费大量的时间来进行零元素的无效运算。因此必须考虑对稀疏矩阵进行压缩存储(只存储非零元素)。

from scipy import sparse
help(sparse)

'''
Sparse Matrix Storage Formats
There are seven available sparse matrix types:

       1. csc_matrix: Compressed Sparse Column format
       2. csr_matrix: Compressed Sparse Row format
       3. bsr_matrix: Block Sparse Row format
       4. lil_matrix: List of Lists format
       5. dok_matrix: Dictionary of Keys format
       6. coo_matrix: Coordinate format (aka IJV, triplet format)
       7. dia_matrix: Diagonal format
       8. spmatrix: Sparse matrix base clas
'''

其中一般较为常用的是csc_matrix，csr_matrix和coo_matrix。

2.3 矩阵属性

from scipy.sparse import csr_matrix

### 共有属性
mat.shape  # 矩阵形状
mat.dtype  # 数据类型
mat.ndim  # 矩阵维度
mat.nnz   # 非零个数
mat.data  # 非零值, 一维数组

### COO 特有的
coo.row  # 矩阵行索引
coo.col  # 矩阵列索引

### CSR\CSC\BSR 特有的
bsr.indices    # 索引数组
bsr.indptr     # 指针数组
bsr.has_sorted_indices  # 索引是否排序
bsr.blocksize  # BSR矩阵块大小

2.4 通用方法

import scipy.sparse as sp

### 转换矩阵格式
tobsr()、tocsr()、to_csc()、to_dia()、to_dok()、to_lil()
mat.toarray()  # 转为array
mat.todense()  # 转为dense
# 返回给定格式的稀疏矩阵
mat.asformat(format)
# 返回给定元素格式的稀疏矩阵
mat.astype(t)  

### 检查矩阵格式
issparse、isspmatrix_lil、isspmatrix_csc、isspmatrix_csr
sp.issparse(mat)

### 获取矩阵数据
mat.getcol(j)  # 返回矩阵列j的一个拷贝，作为一个(mx 1) 稀疏矩阵 (列向量)
mat.getrow(i)  # 返回矩阵行i的一个拷贝，作为一个(1 x n)  稀疏矩阵 (行向量)
mat.nonzero()  # 非0元索引
mat.diagonal()   # 返回矩阵主对角元素
mat.max([axis])  # 给定轴的矩阵最大元素

### 矩阵运算
mat += mat     # 加
mat = mat * 5  # 乘
mat.dot(other)  # 坐标点积


resize(self, *shape)
transpose(self[, axes, copy])

3.稀疏矩阵的分类

3.1 COO-coo_matrix

3.1.1Coordinate Matrix 对角存储矩阵

定义详解
采用三元组(row, col, data)(或称为ijv format)的形式来存储矩阵中非零元素的信息；
三个数组 row 、col 和 data 分别保存非零元素的行下标、列下标与值（一般长度相同）；
故 coo[row[k]][col[k]] = data[k] ，即矩阵的第 row[k] 行、第 col[k] 列的值为 data[k]

python 稀疏矩阵与稠密矩阵运算关系矩阵稀疏度_矩阵

当 row[0] = 1 , column[0] = 1 时， data[0] = 2 ，故 coo[1][1] = 2
当 row[3] = 0 , column[3] = 2 时， data[3] = 9 ，故 coo[0][3] = 9

3.1.2 应用场景

主要用来创建矩阵，因为coo_matrix无法对矩阵的元素进行增删改等操作
一旦创建之后，除了将之转换成其它格式的矩阵，几乎无法对其做任何操作和矩阵运算

3.1.3 优缺点

优点：

转换成其它存储格式很快捷简便（tobsr()、tocsr()、to_csc()、to_dia()、to_dok()、to_lil()）
能与CSR / CSC格式的快速转换
允许重复的索引（例如在1行1列处存了值2.0，又在1行1列处存了值3.0，则转换成其它矩阵时就是2.0+3.0=5.0）

缺点：

不支持切片和算术运算操作
如果稀疏矩阵仅包含非0元素的对角线，则对角存储格式(DIA)可以减少非0元素定位的信息量
这种存储格式对有限元素或者有限差分离散化的矩阵尤其有效

3.1.4 实例化

coo_matrix(D)：D代表密集矩阵；
coo_matrix(S)：S代表其他类型稀疏矩阵；
coo_matrix((M, N), [dtype])：构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d；
coo_matrix((data, (i, j)), [shape=(M, N)])) ：三元组初始化

i[:] : 行索引
j[:] : 列索引
A[i[k], j[k]]=data[k]

4.1.5 特殊属性

data：稀疏矩阵存储的值，是一个一维数组
row：与data同等长度的一维数组，表征data中每个元素的行号
col：与data同等长度的一维数组，表征data中每个元素的列号

4.1.6 案例演示

# 数据
row = [0, 1, 2, 2]
col = [0, 1, 2, 3]
data = [1, 2, 3, 4]

# 生成coo格式的矩阵
# <class 'scipy.sparse.coo.coo_matrix'>
coo_mat = sparse.coo_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4),  dtype=np.int)

# coordinate-value format
print(coo)
'''
(0, 0)        1
(1, 1)        2
(2, 2)        3
(3, 3)        4
'''

# 查看数据
coo.data
coo.row
coo.col

# 转化array
# <class 'numpy.ndarray'>
coo_mat.toarray()
'''
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 2, 0, 0],
       [0, 0, 3, 4],
       [0, 0, 0, 0]])
'''

3.2 CSR - csr_matrix

3.2.1 Compressed Sparse Row Matrix 压缩稀疏行格式

csr_matrix是按行对矩阵进行压缩的；
通过 indices, indptr，data 来确定矩阵。
data 表示矩阵中的非零数据
对于第 i 行而言，该行中非零元素的列索引为 indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
可以将 indptr 理解成利用其自身索引 i 来指向第 i 行元素的列索引
根据[indptr[i]:indptr[i+1]]，就得到该行中的非零元素个数，如

若 index[i] = 3 且 index[i+1] = 3 ，则第 i 行的没有非零元素
若 index[j] = 6 且 index[j+1] = 7 ，则第 j 行的非零元素的列索引为 indices[6:7]

得到了行索引、列索引，相应的数据存放在： data[indptr[i]:indptr[i+1]]

python 稀疏矩阵与稠密矩阵运算关系矩阵稀疏度_稀疏矩阵_02

对于矩阵第0行，需要先得到其非零元素列索引

由 indptr[0] = 0 和 indptr[1] = 2 可知，第 0 行有两个非零元素。
它们的列索引为 indices[0:2] = [0, 2] ，且存放的数据为 data[0] = 8 ， data[1] = 2
因此矩阵第 0 行的非零元素 csr[0][0] = 8 和 csr[0][2] = 2

对于矩阵第4行，同样需要先计算其非零元素列索引

由 indptr[4] = 3 和 indptr[5] = 6 可知，第 4 行有3个非零元素。
它们的列索引为 indices[3:6] = [2, 3，4] ，且存放的数据为 data[3] = 7 ，data[4] = 1 ，data[5] = 2
因此矩阵第 4 行的非零元素 csr[4][2] = 7 ， csr[4][3] = 1 和 csr[4][4] = 2

3.2.2 适用场景

常用于读入数据后进行稀疏矩阵计算，运算高效

3.2.3 优缺点

优点：

高效的稀疏矩阵算术运算
高效的行切片
快速地矩阵矢量积运算

缺点：

较慢地列切片操作（可以考虑CSC）
转换到稀疏结构代价较高（可以考虑LIL，DOK）

3.2.4 实例化

csr_matrix(D)：D代表密集矩阵；
csr_matrix(S)：S代表其他类型稀疏矩阵
csr_matrix((M, N), [dtype])：构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d，
csr_matrix((data, (row_ind, col_ind)), [shape=(M, N)]))

三者关系：a[row_ind[k], col_ind[k]] = data[k]

csr_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])

第i行的列索引存储在其中indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
其对应值存储在中data[indptr[i]:indptr[i+1]]

3.2.5 特殊属性

data ：稀疏矩阵存储的值，一维数组
indices ：存储矩阵有有非零值的列索引
indptr ：类似指向列索引的指针数组
[has_sorted_indices] : 索引 indices 是否排序

3.2.6 案例演示

# 生成数据
indptr = np.array([0, 2, 3, 3, 3, 6, 6, 7])
indices = np.array([0, 2, 2, 2, 3, 4, 3])
data = np.array([8, 2, 5, 7, 1, 2, 9])

# 创建矩阵
csr = sparse.csr_matrix((data, indices, indptr))

# 转为array
csr.toarray()
'''
array([[1, 0, 2],
       [0, 0, 3],
       [4, 5, 6]])
'''
# 按row行来压缩
# 对于第i行，非0数据列是indices[indptr[i]:indptr[i+1]] 数据是data[indptr[i]:indptr[i+1]]
# 在本例中
# 第0行，有非0的数据列是indices[indptr[0]:indptr[1]] = indices[0:2] = [0,2]
# 数据是data[indptr[0]:indptr[1]] = data[0:2] = [1,2],所以在第0行第0列是1，第2列是2
# 第1行，有非0的数据列是indices[indptr[1]:indptr[2]] = indices[2:3] = [2]
# 数据是data[indptr[1]:indptr[2] = data[2:3] = [3],所以在第1行第2列是3
# 第2行，有非0的数据列是indices[indptr[2]:indptr[3]] = indices[3:6] = [0,1,2]
# 数据是data[indptr[2]:indptr[3]] = data[3:6] = [4,5,6],所以在第2行第0列是4，第1列是5,第2列是6

3.3 CSC - csc_matrix

3.3.1 Compressed Sparse Column Matrix 压缩稀疏列矩阵

csc_matrix是按列对矩阵进行压缩的
通过 indices, indptr，data 来确定矩阵，可以对比CSR

data 表示矩阵中的非零数据
对于第 i 列而言，该行中非零元素的行索引为indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
可以将 indptr 理解成利用其自身索引 i 来指向第 i 列元素的列索引
根据[indptr[i]:indptr[i+1]]，我就得到了该行中的非零元素个数，如：

若 index[i] = 1 且 index[i+1] = 1 ，则第 i 列的没有非零元素
若 index[j] = 4 且 index[j+1] = 6 ，则第 j列的非零元素的行索引为 indices[4:6]

得到了列索引、行索引，相应的数据存放在： data[indptr[i]:indptr[i+1]]

python 稀疏矩阵与稠密矩阵运算关系矩阵稀疏度_稀疏矩阵_03

对于矩阵第0列，需要先得到其非零元素行索引

由 indptr[0] = 0 和 indptr[1] = 1 可知，第 0列行有1个非零元素。
它们的行索引为 indices[0:1] = [0] ，且存放的数据为 data[0] = 8
因此矩阵第 0 行的非零元素 csc[0][0] = 8

对于矩阵第3列，同样需要先计算其非零元素行索引

由 indptr[3] = 4 和 indptr[4] = 6 可知，第 4 行有2个非零元素。
它们的行索引为 indices[4:6] = [4, 6] ，且存放的数据为 data[4] = 1 ，data[5] = 9
因此矩阵第 i 行的非零元素 csr[4][3] = 1 ， csr[6][3] = 9

3.3.2 适用场景

参考CSR

3.3.3 优缺点

对比参考CSR

3.3.4 实例化

csc_matrix(D)：D代表密集矩阵；
csc_matrix(S)：S代表其他类型稀疏矩阵
csc_matrix((M, N), [dtype])：构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d，
csc_matrix((data, (row_ind, col_ind)), [shape=(M, N)]))

三者关系：a[row_ind[k], col_ind[k]] = data[k]

csc_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])

第i列的列索引存储在其中indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
其对应值存储在中data[indptr[i]:indptr[i+1]]

3.3.5 特殊属性

data ：稀疏矩阵存储的值，一维数组
indices ：存储矩阵有有非零值的行索引
indptr ：类似指向列索引的指针数组
[has_sorted_indices] ：索引 indices 是否排序

3.3.6 案例演示

# 生成数据
row = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])
col = np.array([0, 0, 1, 2, 2, 2])
data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

# 创建矩阵
csc = sparse.csc_matrix((data, (row, col)), shape=(3, 3)).toarray()

# 转为array
csc.toarray()
'''
array([[1, 0, 4],
       [0, 0, 5],
       [2, 3, 6]], dtype=int64)
'''

# 按col列来压缩
# 对于第i列，非0数据行是indices[indptr[i]:indptr[i+1]] 数据是data[indptr[i]:indptr[i+1]]
# 在本例中
# 第0列，有非0的数据行是indices[indptr[0]:indptr[1]] = indices[0:2] = [0,2]
# 数据是data[indptr[0]:indptr[1]] = data[0:2] = [1,2],所以在第0列第0行是1，第2行是2
# 第1行，有非0的数据行是indices[indptr[1]:indptr[2]] = indices[2:3] = [2]
# 数据是data[indptr[1]:indptr[2] = data[2:3] = [3],所以在第1列第2行是3
# 第2行，有非0的数据行是indices[indptr[2]:indptr[3]] = indices[3:6] = [0,1,2]
# 数据是data[indptr[2]:indptr[3]] = data[3:6] = [4,5,6],所以在第2列第0行是4，第1行是5,第2行是6

3.4 BSR - bsr_matrix

3.4.1 Block Sparse Row Matrix 分块压缩稀疏行格式

基于行的块压缩，与csr类似，都是通过data，indices，indptr来确定矩阵
与csr相比，只是data中的元数据由0维的数变为了一个矩阵（块），其余完全相同
块大小blocksize

块大小 (R, C) 必须均匀划分矩阵 (M, N) 的形状。
R和C必须满足关系：M % R = 0 和 N % C = 0

3.4.2 适用场景

参考CSR

3.4.3 优缺点

优点：

与csr很类似
更适合于适用于具有密集子矩阵的稀疏矩阵
在某些情况下比csr和csc计算更高效。

3.4.4 实例化

bsr_matrix(D)：D代表密集矩阵；
bsr_matrix(S)：S代表其他类型稀疏矩阵
bsr_matrix((M, N), [blocksize =(R,C), [dtype])：构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d，
(data, ij), [blocksize=(R,C), shape=(M, N)]

两者关系：a[ij[0,k], ij[1,k]] = data[k]]

bsr_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])

第i行的块索引存储在其中indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
其相应块值存储在中data[indptr[i]:indptr[i+1]]

3.4.5 特殊属性

data ：稀疏矩阵存储的值，一维数组
indices ：存储矩阵有有非零值的列索引
indptr ：类似指向列索引的指针数组
blocksize ：矩阵的块大小
[has_sorted_indices] ：索引 indices 是否排序

3.4.6 案例演示

# 生成数据
indptr = np.array([0,2,3,6])
indices = np.array([0,2,2,0,1,2])
data = np.array([1,2,3,4,5,6]).repeat(4).reshape(6,2,2)

# 创建矩阵
bsr = bsr_matrix((data, indices, indptr), shape=(6,6)).todense()

# 转为array
bsr.todense()
matrix([[1, 1, 0, 0, 2, 2],
        [1, 1, 0, 0, 2, 2],
        [0, 0, 0, 0, 3, 3],
        [0, 0, 0, 0, 3, 3],
        [4, 4, 5, 5, 6, 6],
        [4, 4, 5, 5, 6, 6]])

3.5 DOK- dok_matrix

3.5.1 Dictionary of Keys Matrix 按键字典矩阵

采用字典来记录矩阵中不为0的元素
字典的 key 存的是记录元素的位置信息的元组， value 是记录元素的具体值

3.5.2 适用场景

逐渐添加矩阵的元素

3.5.3 优缺点

优点：

对于递增的构建稀疏矩阵很高效，比如定义该矩阵后，想进行每行每列更新值，可用该矩阵。
可以高效访问单个元素，只需要O(1)

缺点：

不允许重复索引（coo中适用），但可以很高效的转换成coo后进行重复索引

3.5.4 实例化

dok_matrix(D)：D代表密集矩阵；
dok_matrix(S)：S代表其他类型稀疏矩阵
dok_matrix((M, N), [dtype])：构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d

3.5.5 案例演示

dok = sparse.dok_matrix((5, 5), dtype=np.float32)
for i in range(5):
    for j in range(5):
        dok[i,j] = i+j    # 更新元素

# zero elements are accessible
dok[(0, 0)]  # = 0

dok.keys()
# {(0, 0), ..., (4, 4)}

dok.toarray()
'''
[[0. 1. 2. 3. 4.]
 [1. 2. 3. 4. 5.]
 [2. 3. 4. 5. 6.]
 [3. 4. 5. 6. 7.]
 [4. 5. 6. 7. 8.]]
 '''

3.6 LIL - lil_matrix

3.6.1 Linked List Matrix 链表矩阵

使用两个列表存储非0元素data
rows保存非零元素所在的列
可以使用列表赋值来添加元素，如 lil[(0, 0)] = 8

python 稀疏矩阵与稠密矩阵运算关系矩阵稀疏度_算法_04

lil[(0, -1)] = 4 ：第0行的最后一列元素为4
lil[(4, 2)] = 5 ：第4行第2列的元素为5

3.6.2 适用场景

适用的场景是逐渐添加矩阵的元素（且能快速获取行相关的数据）
需要注意的是，该方法插入一个元素最坏情况下可能导致线性时间的代价，所以要确保对每个元素的索引进行预排序

3.6.3 优缺点

优点：

适合递增的构建成矩阵
转换成其它存储方式很高效
支持灵活的切片

缺点：

当矩阵很大时，考虑用coo
算术操作，列切片，矩阵向量内积操作慢

3.6.4 实例化

lil_matrix(D)：D代表密集矩阵；
lil_matrix(S)：S代表其他类型稀疏矩阵
lil_matrix((M, N), [dtype])：构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d

3.6.5 特殊属性

data：存储矩阵中的非零数据
rows：存储每个非零元素所在的列(行信息为列表中索引所表示)

3.6.6 案例演示

# 创建矩阵
lil = sparse.lil_matrix((6, 5), dtype=int)

# 设置数值
# set individual point
lil[(0, -1)] = -1
# set two points
lil[3, (0, 4)] = [-2] * 2
# set main diagonal
lil.setdiag(8, k=0)

# set entire column
lil[:, 2] = np.arange(lil.shape[0]).reshape(-1, 1) + 1

# 转为array
lil.toarray()
'''
array([[ 8,  0,  1,  0, -1],
       [ 0,  8,  2,  0,  0],
       [ 0,  0,  3,  0,  0],
       [-2,  0,  4,  8, -2],
       [ 0,  0,  5,  0,  8],
       [ 0,  0,  6,  0,  0]])
'''

# 查看数据
lil.data
'''
array([list([0, 2, 4]), list([1, 2]), list([2]), list([0, 2, 3, 4]),
       list([2, 4]), list([2])], dtype=object)
'''
lil.rows
'''
array([[list([8, 1, -1])],
       [list([8, 2])],
       [list([3])],
       [list([-2, 4, 8, -2])],
       [list([5, 8])],
       [list([6])]], dtype=object)
'''

3.7 DIA - dia_matrix

3.7.1 Diagonal Matrix 对角存储格式

dia_matrix通过两个数组确定：data和offsets

data ：对角线元素的值
offsets ：第 i 个 offsets 是当前第 i 个对角线和主对角线的距离
data[k:] 存储了 offsets[k] 对应的对角线的全部元素

python 稀疏矩阵与稠密矩阵运算关系矩阵稀疏度_矩阵_05

当 offsets[0] = 0 时，表示该对角线即是主对角线，相应的值为 [1, 2, 3, 4, 5]
当offsets[2] = 2时，表示该对角线为主对角线向上偏移2个单位，相应的值为[11, 12, 13, 14, 15]

但该对角线上元素仅有三个，于是采用先出现的元素无效的原则
即前两个元素对构造矩阵无效，故该对角线上的元素为 [13, 14, 15]

3.7.2 适用场景

最适合对角矩阵的存储方式

3.7.3 实例化

dia_matrix(D)：D代表密集矩阵；
dia_matrix(S)：S代表其他类型稀疏矩阵
dia_matrix((M, N), [dtype])：构建一个shape为M*N的空矩阵，默认数据类型是d，
dia_matrix((data, offsets)), [shape=(M, N)]))：

data[k,:] 存储着对角偏移量为 offset[k] 的对角值

3.7.4 特殊属性

data：存储DIA对角值的数组
offsets：存储DIA对角偏移量的数组

3.7.5 案例演示

# 生成数据
data = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 0, 0], [0, 7, 8, 9]])
offsets = np.array([0, -2, 1])

# 创建矩阵
dia = sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(4, 4))

# 查看数据
dia.data
'''
array([[[1 2 3 4]
        [5 6 0 0]
        [0 7 8 9]])
'''

# 转为array
dia.toarray()
'''
array([[1 7 0 0]
       [0 2 8 0]
       [5 0 3 9]
       [0 6 0 4]])
'''

4.矩阵格式对比

	COO	DOK	LIL	CSR	CSC	BSR	DIA	Dense
indexing	no	yes	yes	yes	yes	no†	no	yes
write-only	yes	yes	yes	no	no	no	no	yes
read-only	no	no	no	yes	yes	yes	yes	yes
low memory	yes	no	no	yes	yes	yes	yes	no
PyData sparse	yes	yes	no	no	no	no	no	n/a

5.稀疏矩阵存取

5.1 存储 - save_npz

# 存储为npz文件
scipy.sparse.save_npz('sparse_matrix.npz', sparse_matrix)

5.2 读取 - load_npz

# 从npz文件中读取
mat = sparse.load_npz('./data/npz/test_x.npz')

5.3 存储大小比较

a = np.arange(100000).reshape(1000,100)
a[10: 300] = 0
b = sparse.csr_matrix(a)

# 稀疏矩阵压缩存储到npz文件
sparse.save_npz('b_compressed.npz', b, True)  # 文件大小：100KB

# 稀疏矩阵不压缩存储到npz文件
sparse.save_npz('b_uncompressed.npz', b, False)  # 文件大小：560KB

# 存储到普通的npy文件
np.save('a.npy', a)  # 文件大小：391KB

# 存储到压缩的npz文件
np.savez_compressed('a_compressed.npz', a=a)  # 文件大小：97KB• 1

对于存储到npz文件中的CSR格式的稀疏矩阵，内容为：

data.npy
format.npy
indices.npy
indptr.npy
shape.npy

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