蒙特卡洛积分估计标准正态分布 R语言 蒙特卡洛算法求积分

1、介绍
蒙特卡洛方法，统计模拟方法，以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

2、基本思想
当所求解问题是某种随即事件出现的概率，或者是某个随即变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的概率估计这一随即事件的概率，或者得到这个随即变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

3、蒙特卡洛积分
用来计算多重积分的复杂问题，尽管蒙特卡洛方法给出的计算结果的精确度不是很高，但它能很快的提供出一个低精度的模拟结果也是很有价值的，在多重积分计算中，由于蒙特卡洛方法的误差与积分重数无关，所以它比常用的均匀网格求积公式要优越。

• 投点法（频率法）
• 平均值法（期望法，重点）
  设有一个函数f（x），无法直接求出积分，如何解？
  定积分就是函数在区间内所围的面积，由于这个图形是一个不规则的图形，想要简单的求出面积基本不可能。但是我们知道，对于该面积，我们将长度PI作为宽的时候，必然存在某个值h，使得函数与x轴围城的面积A=PI*h，如下图所示，所以如何求h，h就是整个函数的平绝值。而如何精准的求平均值，图形学里面是通过采样的方式进行预估的。
  仅仅通过选取一个随即值，计算出的f（x）值，与实际的函数f（x）的平均值可能相距甚远，所以，我们需要生成大量的随即值，计算f（x）的值，并且将所有这些f（x）的值求一个平均数，就能得到一个近似的h值。采样数量趋近于无限的时候，就能够得到精确的h。在实际情况下，我们无法生成无限的随机样本，所以，误差总是不可避免的。图形学关于这块的研究，就是如何在有限的样本情况下，使用最少的样本数量，更快的计算出更小误差的h值。

对于

没有分析的方法去计算出它的值，但是对于函数f（x）的值，可以通过带入参数的方法，直接计算出来。有了这个前提，我们就能够在函数的作用域范围里面随机的选择参数x的值，然后精确的计算出f（x）的值。