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在多变量波动率预测中，我们有时会看到对少数主成分驱动的协方差矩阵建模，而不是完整的股票。使用这种因子波动率模型的优势是很多的。
首先，你不需要对每个股票单独建模，你可以处理流动性相当弱的股票。第二，因子波动率模型在计算成本低。第三，与指数加权模型相比，持久性参数（通常表示为
）不必在所有股票上都是一样的。你可以为每个因子指定一个不同的过程，这样协方差矩阵过程就会有更丰富的动态变化。
但这里没有免费的午餐，代价是信息的损失。它是将协方差矩阵中的信息浓缩为少数几个因子的代价。这意味着因子波动率模型最适合于实际显示因子结构的数据。因子波动率模型并不是具有弱的截面依赖性的数据的最佳选择。在因子化的过程中会丢失太多的信息。
这篇文章，我们让主成分遵循 GARCH 过程。代数相当简单。
(1) 
(2) 
是一个对角矩阵，维数为选定的因子数。将此矩阵设置为对角线意味着主成分之间的协方差为零（所有非对角线元素都为零）。因此它们是正交的。当然，通过构造，主成分只是无条件正交的，但我们添加了约束\假设它们在每个时间点也是正交的。这确保 
是一个有效的协方差矩阵。
的对角线 填充了因子的方差。这里我们使用阈值-GARCH 模型。
让我们实践。我们使用股票数据。前两个追踪短期和长期的债券收益，后两个追踪股票指数。每日收益矩阵 ret。
下面的代码分为两部分。首先，我们基于单个因子的阈值 GARCH 模型构建了我们自己的双因子正交 GARCH 模型。有几种不同的方法来估计参数（非线性最小二乘法、最大似然法和矩量法）。
#--------------
# 第一部分，自己的双因子正交 GARCH 模型
#--------------------
library(rugarch) # 单变量GARCH模型
# 我使用1000个观察的初始窗口，每增加一个时间点就重新估计模型的参数
wd <- 1000 #初始窗口
k <- 2 #因素的数量
Uvofit <- matrix # 用一个矩阵来保存三种资产的波动率
for(i in wd:T){
pc1 <- promp # 主成分分解
for (j in 1:k){ # 对于每个因素，这里有相同的Garch过程（但可以是不同的）。
gjel = ugarchfit
}
# 不使用内置的 prcomp 函数获得 w。
w <- matrix(eivales, nrow = l, ncol = k, byrow = F) * (eigos)
# 存储每个时间点上的协方差矩阵。
for(i in 1:TT){
# 这是Gamma D_t gamma'。
otch[i,,] <- w %*% as.matrix) %*% t(w)
}
# 第二部分。使用广义正交GARCH（GO-GARCH）模型
#--------------
garchestby = "mm"
summary
# 让我们从这个模型中获得协方差
mH <- array
for(i in 1:TT){
yH[i,,] <- faf@H[[i]] 。
}
# 绘制这两张图。因为我们用1000作为初始窗口，所以只画最近的观察值
# 改变k来表示最近的观测值。
k <- TT - wd
teme <- tail(time,k) # 定义时间
# 用来绘制相关图的函数
plot(teime
abline
lines(tetime
# 让我们来看看所产生的相关关系。
我们看到的是对应于 6 个相关序列（SPY 与 TLT、SPY 与 QQQ 等）。我们自己的估计模型和使用包构建的模型之间几乎没有区别。但我们自己的只使用了 2 个因子，一个差分 GARCH 模型，估计的是窗口而不是整个样本，以及不同的估计方法。我怀疑真实的相关性是否像底部面板中估计的那样稳定。
* 我们在这里混合了代数、概率和几何的术语。正交是一个来自几何学的术语，它是指两个向量之间的角度。如果它们是垂直的，就被称为正交。 代数上，如果它们的内积会发生这种情况 
为零。在概率上，回到协方差矩阵，COV(x,y)=E(XY)-E(X)E(Y)，但因为因子的平均值为零。COV(x,y)=E(XY)。所以E(XY)=0意味着因子是正交的。本质上，正交性意味着线性独立。
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