!""# 年 ! 月 引 言 自从邓聚龙教授提出灰色系统理论以来，灰色预测模型在许多领域得到了广泛应用。许多的研究工作者对 于动态微分方程模型 $%( &， &)进行了广泛的研究，为了 提高模型精度，提出了一些改进的 $%( &， &)模型’&(!)。近 年来* 许多文献从不同的角度给出了非等间距灰色预测模型的改进’+,-)，然而实际的社会、经济系统中往往包含多个变量，各变量相互影响、相互作用。为了解决多变量等间距原始数据的灰色预测问题，文献’.,/)分别讨论了多变量等间距和非等间距预测模型的建模方法和应用。多变量灰色模型的参数估计、模型预测以及模型的精度检验都需要一些比较复杂的计算。本文的目的是给出多变量灰色预测模型的检验和算法的 %01203 程序，并通过一个应用实例加以说明。 & 多变量灰色预测模型 假定非负原始数据向量序列为 !4"56｛ !7"84&8"!4"84!8" ⋯， !4"84#8｝，其一次累加生成向量序列为 !4&86｛ !4&84&8"!4&8 4!8"⋯， !4&84#8｝，其中 ， # 为观 测数据的个数，这里 是 $ 维列向量。如果记 则多变量灰色模型9.,/)的动态微分方程组可表示为 (&) 如果规定初始条件为 ，则动态微分方程组模型的连续时间响应函数为 。 为了得到模型参数的估计值，需要将上述微分方程组转化为离散形式，从而可得到参数的估计值，如果记 ，如果 %&% 可逆，则利用最小二乘法可以得到 ’ 的估计值为 (!) 其中 根据( !)式可得参数 ( 和 ) 的辩识值 和 。有了参数估计就可以得到时间响应函数为 ( +) 利用(+)式还原成原始数据序列有 (:) 下面讨论模型的检验，设模型的残差为 *残差的均值和方差分别为 ( ) ( ) ( 1), 2,3,k k k k= − − =X X X ( ) ( ) ( )i x i x i ε = − ( ), D A B= ( ) , ( ) D A B L L L Y −= =( (1) (2))/2 ( (1) (2))/2 ( (1) (2))/2 ( (2) (3))/2 ( (2) (3))/2 ( (2) (3))/2 ( ( 1) ( ))/2 ( ( 1) ( ))/2 ( ( 1) ( x x x x x x x x x x x x L x n x n x n x n x n x n + + + + + + = − + − + − + 1 1 1))/2         (2) (2) (2) (3) (3) (3) ( ) ( ) ( ) x x x x x x Y x n x n x n      =       A B ( ) (1) ( ) k e X A e I B − − −= + −X (1) (1)=X X ( ) (1) ( ) t e X A e I B −= + −X( ) ( ( ), ( ), , ( )) X k x k x k x k=               = aaa aaa aaa A bbbB ),,,(= BtA t t += )( d )(d X X( )| (1)X t X = = 收稿日期：!""/*":*!& 基金项目：陕西理工学院科研基金项目 (;