hdu6363(组合数学+容斥+欧拉降幂)

这个题其实不难。。只是当时不会数学吧。。

首先这个题目比较绕。。要先化简一波。。

首先是

这个可以这样考虑，像2^n-1这个形式化成二进制就是n个1，那么他们取gcd就会形成gcd个1(gcd个1可以通过左移，即乘若干个2把每个数逐一除掉)，因此

然后枚举gcd(设枚举的值为k)，可以发现n必须被分成若干个k放进书架，因此看成将n/k本书随机放进k个书架就可以了。。

然后将n本书放进k个书架可以这样考虑，因为有些书架可以不放书，因此不能直接用插板法，而我们可以手动给每个书架加一本书，这样就可以插板了，为

再回到将n/k本书随机放进k个书架这里，由于通过上面的算法只能算出把n/k本书随机放进这些书架，而没有保证这些数的gcd=1，即这样算出来的是gcd能被k整除的时候的方案数，不妨设为g(k)，所以

，而f[k]比较大，所以需要欧拉降幂一下

算出g(k)容斥一下就可以了，设答案为f(k)，那么f(k)=g(k)-f(2k)-f(3k)-....f(mk)，这样复杂度为O(nlogn)

 

 

 

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 */
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1LL<<(x))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid ((x+y)/2) 
#define NM 1000005 
#define nm 10005
#define N 1000005
#define M(x,y) x=max(x,y)
const double pi=acos(-1);
const ll inf=1e9+7;
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 



int n,k;
ll f[NM],invp[2*NM],p[2*NM],ans,g[NM];

ll qpow(ll x,ll t){return t?qpow(sqr(x)%inf,t>>1)*(t&1?x:1)%inf:1LL;}

ll solve(ll n){return p[n+k-1]*invp[n]%inf*invp[k-1]%inf;}

int main(){
    n=1e6;
    f[1]=p[1]=invp[1]=1;
    inc(i,2,n)f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%(inf-1);
    inc(i,2,2*n)p[i]=p[i-1]*i%inf,invp[i]=invp[inf%i]*(inf-inf/i)%inf;
    inc(i,2,n*2)invp[i]=invp[i-1]*invp[i]%inf;
    int _=read();while(_--){
    n=read();k=read();ans=0;mem(g);
    for(int i=1;sqr(i)<=n;i++)if(n%i==0)g[i]=solve(n/i),g[n/i]=solve(i);
    dec(i,n,1)if(n%i==0){
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i)g[i]+=inf-g[j],g[i]%=inf;
        ans+=g[i]*(qpow(2,f[i])-1+inf)%inf;ans%=inf;
    }
    ans=ans*invp[n+k-1]%inf*p[n]%inf*p[k-1]%inf;
    printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

 

 

 

 

bookshelf

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
Total Submission(s): 823    Accepted Submission(s): 365

 

Problem Description

Patrick Star bought a bookshelf, he named it ZYG !!

Patrick Star has N book .

The ZYG has K layers (count from 1 to K) and there is no limit on the capacity of each layer !

Now Patrick want to put all N books on ZYG :

1. Assume that the i-th layer has cnti(0≤cnti≤N) books finally.

2. Assume that f[i] is the i-th fibonacci number (f[0]=0,f[1]=1,f[2]=1,f[i]=f[i−2]+f[i−1]).

3. Define the stable value of i-th layers stablei=f[cnti].

4. Define the beauty value of i-th layers beautyi=2stablei−1.

5. Define the whole beauty value of ZYG score=gcd(beauty1,beauty2,...,beautyk)(Note: gcd(0,x)=x).

Patrick Star wants to know the expected value of score if Patrick choose a distribute method randomly !

 

 

Input

The first line contain a integer T (no morn than 10), the following is T test case, for each test case :

Each line contains contains three integer n,k(0<n,k≤106).

 

 

Output

For each test case, output the answer as a value of a rational number modulo 109+7.

Formally, it is guaranteed that under given constraints the probability is always a rational number pq (p and q are integer and coprime, q is positive), such that q is not divisible by 109+7. Output such integer a between 0 and 109+6 that p−aq is divisible by 109+7.

 

 

Sample Input

 

1 6 8

 

 

Sample Output

 

797202805

 

 

Source

​​2018 Multi-University Training Contest 6 ​​

 

 

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