【高等数学】第二章 多元函数微分学

1 多元函数基本概念

二元及二元以上的函数统称多元函数。

1.1 平面点集

$D=\{(x,y) | \sqrt{x^2+y^2} <1 \}$

开区域：取不到边界值。

闭区域：可以取到边界值。（任意一个边界可以取到即认为是闭区域）

无界：某个方向无穷没有边界（任意一个边界无穷即代表无界）

有界：任意一个方向有边界

1.2 二元函数

$z=f(x,y)或者z=z(x,y)$

其中，x/y为自变量；z为因变量。x,y的变化范围交定义域；z构成的集合骄傲值域。

有界函数：f(x,y)<=M;则有界。反之，无界。

1.3 多元函数的构造

1.3.1 四则运算

以二元函数为例；给定二元函数f(x,y)和g(x,y)，且Df∩Dg≠空集，则可用四则运算构造新函数：

$F(x,y)=f(x,y)+g(x,y) , \ \ \ \ D_F = D_f \bigcap D_g \ ;$

$F(x,y)=f(x,y)-g(x,y) , \ \ \ \ D_F = D_f \bigcap D_g \ ;$

$F(x,y)=f(x,y)g(x,y) , \ \ \ \ D_F = D_f \bigcap D_g \ ;$

$F(x,y)=\frac{f(x,y)}{g(x,y)} , \ \ \ \ D_F = D_f \bigcap D_g \ ;$

1.3.2 多元函数的复合函数

若u=f(v)；v=g(x,y)；则复合后构成新函数：

$u=F(x,y)=f(g(x,y))$

题型1：

$已知函数f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2},求f(1,\frac{x}{y})$

解法：换元法

$令：u=x,v=y; 则左式f(x,y)=f(u,v)=\frac{uv}{u^2+v^2};将u=1,v=\frac{x}{y}代入得：f(1,\frac{x}{y})=\frac{xy}{x^2+y^2}$

题型2：

$已知f(x+y,x-y)=x^2-y^2,求函数f(x,y).$

解法1：换元法

$令：u=x+y,v=x-y,解得此方程组x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2};所以f(u,v)={(\frac{u+v}{2})}^2-{(\frac{u-v}{2})}^2=uv \\ 因此，f(x,y)=xy$

解法2：因式分解法

$令：u=x+y,v=x-y,解得f(x+y,x-y)=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=uv; 因此，f(x,y)=xy$

1.3.3 隐函数

无法将因变量和自变量分离到等式两边的函数式被称为隐函数。

$x-2y=0是显函数； y=\frac{x}{2}就是其隐函数形式$

1.3.4 多元函数的极限

$\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}}f(x,y) = \lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0) }f(x,y) = A $$

注意：函数定义域范围内的点的极限就是函数在该点的值。函数定义域取不到的地方才需要求极限。

题型1：

$求：\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 2}}{\frac{\sin(xy)}{x}}$

解法：

$\begin{aligned} &令xy=u;所以转化为\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 2}}{\frac{\sin(xy)}{x}}=\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 2}}{\frac{\sin(xy)}{xy}}{y} \\ &当x \to 0,y \to 2时，u \to 0。 \\ &\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 2}}{\frac{\sin(xy)}{xy}} = \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 2}}{\frac{\sin(u)}{u}} = 1 ; \ \ \ \ \ \ \ 这是一元函数的基础极限，需要记忆的。 \\ &\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 2}}{\frac{\sin(xy)}{x}}=\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 2}}{\frac{\sin(xy)}{xy}}{y} = 1 \cdot2 = 2 \end{aligned}$

定理1：函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的二重极限存在的充要条件是，当点P(x,y)以任何方式趋向于点P0(x0,y0)时，函数的极限存在且相等。

题型：

$证明：极限\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}}{\frac{xy}{x^2+y^2}}不存在。$

证明过程：

让点P(x,y)延三条不同的路径趋向于(0, 0)点：

$f(x,y) = {\frac{xy}{x^2+y^2}}$

$L_x: X轴 \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}}{\frac{xy}{x^2+y^2}} = \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}{\frac{x \cdot 0}{x^2+0^2}} = 0 \\ L_y: Y轴 \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}}{\frac{xy}{x^2+y^2}} = \lim\limits_{\substack{y \to 0 }}{\frac{0 \cdot y}{0^2+y^2}} = 0 \\ L_{x=y}: x=y \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}}{\frac{xy}{x^2+y^2}} = \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}{\frac{x \cdot y}{x^2+x^2}} = {\frac{1}{2}} \\$

由此，可见，极限并不相等，因此在(0, 0)处极限不存在。

1.3.5 多元函数连续性

$若：\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}}f(x,y) = f(x_0, y_0)则函数在(x_0,y_0)处连续，反之间断。$

1）由连续函数经过加减乘除四则运算得到的函数仍然连续。

2）连续函数和连续函数的复合函数仍是连续函数。

3）初等函数在其有定义的区域内连续。

2 偏导数与全微分

2.1 偏导数的概念

函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数：

对x的偏导数：（y看做常数；若极限存在）

$\lim\limits_{\Delta{x} \to 0}{\frac{f(x_0+\Delta{x},y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta{x}}}$

对y的偏导数：（x看做常数；若极限存在）

$\lim\limits_{\Delta{y} \to 0}{\frac{f(x_0,y_0+\Delta{y}) - f(x_0,y_0)}{\Delta{y}}}$

可以记作：

${\frac{\partial z}{\partial x}}\vert {\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}};\\ {\frac{\partial z}{\partial y}}\vert {\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}};\\ f_X(x_0,y_0); \\ f_y(x_0,y_0); \\ {z_x}\vert {\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}}; \\ {z_y}\vert {\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}}; \\$

其中：

$(x_0+\Delta{x},y_0) - f(x_0,y_0) 称为 z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处关于x的偏增量。 \\ (x_0,y_0+\Delta{y}) - f(x_0,y_0) 称为 z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处关于y的偏增量。 \\ (x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) - f(x_0,y_0) 称为 z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处的全增量。 \\$

注意：一元函数中的“可导必连续”在多元函数中不再成立。

2.2 高阶偏导数

$设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数;如果这两个偏导数在D内仍有偏导数，则称他们的偏导数为函数f(x,y)的 \\ 二阶偏导数。\\$

$对\frac{\partial z}{\partial x}求关于x的偏导数，记作对\frac{{\partial}^2 z}{\partial x^2}={\frac{\partial}{\partial x}}{(\frac{\partial z}{\partial x})},或记作f_{xx}(x,y),f_{11}(x,y),z_{xx};$

$对\frac{\partial z}{\partial x}求关于y的偏导数，记作对\frac{{\partial}^2 z}{\partial x \partial y}={\frac{\partial}{\partial y}}{(\frac{\partial z}{\partial x})},或记作f_{xy}(x,y),f_{12}(x,y),z_{xy}; $$$

$对\frac{\partial z}{\partial y}求关于x的偏导数，记作对\frac{{\partial}^2 z}{\partial y \partial x}={\frac{\partial}{\partial x}}{(\frac{\partial z}{\partial y})},或记作f_{yx}(x,y),f_{21}(x,y),z_{yx};$

$对\frac{\partial z}{\partial y}求关于y的偏导数，记作对\frac{{\partial}^2 z}{\partial y^2}={\frac{\partial}{\partial y}}{(\frac{\partial z}{\partial y})},或记作f_{yy}(x,y),f_{22}(x,y),z_{yy};$

二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数共有四个，其中将

$\frac{{\partial}^2 z}{\partial x \partial y}和\frac{{\partial}^2 z}{\partial y \partial x}$

称为二阶混合偏导数。两者是相等的。

二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数。

2.3 全微分

全微分公式：

$函数z=f(x,y)的全微分：dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial x}{\Delta x} + \frac{\partial z}{\partial y}{\Delta y}$

全增量：

$\Delta z = (x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) - f(x_0,y_0)$

推广到3元4元更多元也适用。

3 复合函数与隐函数的导数和偏导数

3.1 复合函数的导数与偏导数

【历史知识】

一元复合函数1：

$y=f(u),u=g(x),则复合函数y=f(g(x))的导函数: \\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

一元复合函数2：

$u=f(x),v=g(x),则复合函数z=h(u,v)=h(f(x),g(x))的导函数: \\ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dz}{dx}称为全导数。$

二元函数：

$u=f(x,y),v=g(x,y),则复合函数z=h(u,v)=h(f(x,y),g(x,y))的导函数: \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}; \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

以上就是链式法则。

3.2 隐函数的导数与偏导数

$设二元函数F(x,y)=0是y=f(x)的隐函数表达式；在点(x_0,y_0)的某个邻域内具有连续偏导数，\\ 且F_y(x_0,y_0) \neq 0;则： \\ \frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y}$

$设函数F(x,y,z)=0是z=f(x,y)的隐函数表达式；在点(x_0,y_0,z_0)的某个邻域内具有连续偏导数，\\ 且F_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0;则： \\ \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_x}{F_z} ;\\ \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_y}{F_z}$

4 偏导数的应用

4.1 多元函数的极值与最值

4.1.1 多元函数的极值（无条件极值）

定理1：极值的必要条件

$函数z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)处的两个偏导数都存在，且函数在该点取得极值，则必有： \\ f_x(x_0,y_0)=0, \ \ \ \ \ \ \ \ f_y(x_0,y_0)=0 \ \ \ \ 求得的坐标点称为驻点。$

可导的极值点一定是驻点；驻点（偏导数为0 的点）不一定是极值点。

定理2：极值的充分条件

$\begin{aligned} &函数z=f(x,y)在点驻点(x_0,y_0)处具有二阶连续偏导数；令： \\ &A=f_{xx}(x_0,y_0), B=f_{xy}(x_0,y_0), C=f_{yy}(x_0,y_0), \Delta =B^2-AC; \ \ 则： \\ &1) 若\Delta <0,则点(x_0,y_0)是函数f(x,y)的极值点；且A<0时f(x_0,y_0)是极大值，A>0时f(x_0,y_0)是极小值。 \\ &2) 若\Delta >0,则点(x_0,y_0)不是函数f(x,y)的极值点。 \\ &3) 若\Delta =0,则不能确定是否是极值点。 \\ \end{aligned}$

4.1.2 多元函数最值

疑似最值点有：驻点（导数为0 的点）、端点、不可导的点。

题型及解题技巧：

1)一阶偏导数=0解得驻点（x,y）

2)如果题目是实际几何问题（物品）；驻点可以直接认为是题目中的极大值或极小值点。将（x，y)带入原函数求解得出最大值或最小值。

3)若题目只有函数与实际无关，则进一步得到二阶偏导数；然后根据极值的充分条件判断极值属性并将（x，y)带入原函数求解得出最大值或最小值。

4.1.3 多元函数的极值（有条件极值）

在有约束条件g(x,y)=0情况下，求函数z=f(x,y)的极值。

定理3[拉格朗日(Lagrange)乘数法]：

$\begin{aligned} & 设二元函数g(x,y)和f(x,y)在所考虑区域内有连续偏导数，且g_x(x,y)和g_y(x,y)不同时为0；此时，令： \\ &L(x,y)=f(x,y)+\lambda{g(x,y)}, \\ &其中，常数\lambda称为拉格朗日常数；L(x,y)称为朗格朗日函数；求其偏导数并与条件函数g(x,y)建立方程组: \\ &\left\{\begin{aligned} L_x =0 \\L_y=0 \\ g(x,y)=0 \end{aligned}\right. \\ &解得(x_0,y_0)即为可疑极值点。 \end{aligned}$

利用此定理具体步骤：

1)根据目标函数和约束函数写出拉格朗日函数。

2)建立方程组解出疑似极值点。

3)判断可以极值点是否确实为极值点。

定理4：

$定理3推广到三元函数即可。$

4.2 偏导数的集合应用

4.2.1 空间曲线的切线和法平面

$\begin{aligned} & 给定曲线： \\ &\left\{\begin{aligned} x=x(t) \\y=y(t) \\ z=z(t) \end{aligned}\right. \\ &在P_0{x_0,y_0,z_0}点处的切向量(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)) \\ \end{aligned}$

因此：

$曲线在P_0点的切线方程为： \frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)} \\ 曲线在P_0点的法平面方程为：x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$

4.2.2 空间曲面的切平面和法线

$$$ \begin{aligned} & 给定曲面：F(x,y,z)=0;在P_0(x_0,y_0,z_0)处的法向量: \\ \\ & \vec{n}=\{ (F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0)) \} \\ &向量\vec{n}单位化后:\vec{n^0}=\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \rvert}=\{ \frac{F_x}{\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2+{F_z}^2}},\frac{F_y}{\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2+{F_z}^2}},\frac{F_z}{\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2+{F_z}^2}} \} \\ &= \{ \cos{\alpha},\cos{\beta},\cos(gamma) \} \\ \\ &其中;\alpha , \beta , \gamma分别是方向向量与x轴，y轴，z轴的夹角。 \end{aligned} $$$

因此：

$曲面在P_0点的切线方程为： \frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)} \\ \\ 曲线在P_0点的法平面方程为：F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$

4.3 方向导数与梯度

搞张动图直观理解下：

4.3.1 方向导数（结果是数字）

$函数z=f(x,y)上的点P;从P引出一条射线l；当射线上的点Q延射线l趋近于P点 \\ \Delta{z}=f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y);\\ PQ间的距离\rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} \\ \\ 于是：\frac{\Delta{z}}{\rho} = \frac{f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y)}{\rho} \\ 若上式极限存在，则称该极限是f(x,y)在点P处延方向l的方向导数。记作\frac{\partial f}{\partial l} 或者 \frac{\partial z}{\partial l} \\ \frac{\partial z}{\partial l} = \lim\limits_{\rho \to 0}{\frac{f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y)}{\rho}}$

定理5：

$若上式在P(x_0,y_0)点可微；则该点延任意方向的导数存在且：\\ \\ \frac{\partial z}{\partial l}\vert_{(x_0,y_0)} = \lim\limits_{\rho \to 0}{\frac{f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y)}{\rho}} = \frac{\partial z}{\partial x}\cos{\alpha} + \frac{\partial z}{\partial y}\cos{\beta} \\ \\ 其中，\alpha和\beta分别是l与x轴和y轴正向的夹角。$

推广到三元函数同样成立。

4.3.2 梯度（结果是向量）

$给定二元函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可以确定一个向量：f_x(x_0,y_0)\vec{i}+f_y(x_0,y_0)\vec{j} \\ 称为函数f(x,y)在点(x_0,y_0)处的梯度，记作：\\ gradf(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\vec{i}+f_y(x_0,y_0)\vec{j} = \{f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0) \}$

由上节的方向导数定理5得：

$\frac{\partial z}{\partial l}\vert_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial z}{\partial x}\cos{\alpha} + \frac{\partial z}{\partial y}\cos{\beta} = f_x(x_0,y_0)\cos{\alpha}+f_y(x_0,y_0)\cos{\beta} = gradf(x_0,y_0) \cdot \vec{e} \\ = \vert gradf(x_0,y_0) \rvert \cdot \vert \vec{e} \rvert \cdot \cos{\theta} = \vert gradf(x_0,y_0) \rvert \cdot \cos{\theta} \\ \vec{e}代表l方向的单位方向向量; \theta 代表梯度与向量\vec{e}的夹角。$

梯度的意义：函数延梯度方向变化率最大。

梯度的概念推广到三元函数依然试用。

4.3.3 一张图理解

水平有限，难免有误，真诚欢迎大家斧正~

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另外本文也参考了网络上其他优秀博主的观点和实例，这里虽不能一一列举但内心属实感谢无私分享知识的每一位你们。