特征函数的共轭

特征函数 $M(it)$是一个随机变量 $X$ 的特征函数，其中 $i$ 是虚数单位（即$i^2 = -1$)，$t$ 是实数。特征函数的定义如下：
$M(t) = E(e^{itX})$
对于任何实数 $t$，有以下关系成立：
$M(-t) = E(e^{-itX})$
将$t$ 替换为 $-t$，得到$M(-t)$ 的定义。现在，我们知道
$e^{-i\theta} = \cos(\theta) - i\sin(\theta)$

因此：
$M(-t) = E(\cos(tX) - i\sin(tX))$
特征函数的共轭关系是
$M(-t) = \overline{M(t)}$
其中上方横线表示共轭。所以：
$\overline{M(t)} = E(\cos(tX) + i\sin(tX))$
因此， $M(it)$ 与 $M(-it)$ 的关系是：
$M(-it) = \overline{M(it)}$
简而言之，特征函数的负虚部与其共轭的关系。