Lindeberg-Feller 定理

Lindeberg-Feller 定理

Lindeberg-Feller 定理是概率论中关于中心极限定理的一个重要结果，它提供了一种条件，使得独立同分布的随机变量的和的标准化形式在极限情况下收敛到标准正态分布。这个定理对于理解大数定律和中心极限定理的推广非常有帮助。

Lindeberg-Feller 定理陈述： 设 X_1, X_2, ..., X_n 是独立同分布的随机变量，具有相同的均值 μ 和方差 σ^2。定义 S_n = X_1 + X_2 + ... + X_n，则对于任意 ε > 0，有：

$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} > \varepsilon\right) = 1 - \Phi(\varepsilon)$

其中，Φ(·) 是标准正态分布的累积分布函数。

Lindeberg条件

Lindeberg-Feller 定理的关键是 Lindeberg 条件。Lindeberg 条件是确保 Lindeberg-Feller 定理成立的一组条件。给定独立同分布的随机变量 X_1, X_2, ..., X_n，定义 S_n = X_1 + X_2 + ... + X_n，Lindeberg 条件如下：

Lindeberg 条件： 对于任意 ε > 0，有

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sigma^2} \sum_{k=1}^{n} E\left[(X_k - \mu)^2 \cdot I\left\{\frac{(X_k - \mu)^2}{\sigma^2} > \varepsilon\right\}\right] = 0$

其中，I{·} 是指示函数。

Lindeberg 条件的直观解释是，随着样本量的增加，随机变量的方差被"适当地"控制，使得随机变量的和标准化后趋于正态分布。这个条件确保了每个随机变量对总和的贡献不会太大，从而维持了中心极限定理的有效性。

总的来说，Lindeberg-Feller 定理是中心极限定理的一个重要推广，适用于更一般的随机变量序列，并提供了一种更强大的工具来理解随机变量和它们和的渐近分布。