题目一:
请实现一个函数,对于给定的整型参数N,依次打印出小于N的素数。
解法一:试除法
由素数的定义我们很自然的会想到如下代码:
#include <stdio.h> void print_prime(int n) { int i=0; for(i=2;i<=n;i++) { int j=0; for(j=2;j<i;j++) { if(0==i%j) break; } if(j==i) printf("%d\t",i); } } int main() { int num=0; scanf("%d",&num); print_prime(num); return 0; }
在上面的代码中,我们看到在判断素数时一直从2试除到n-1。这里从n/2之后的数到n-1的试除显然是多余的,比如某个数不能被3整除,必然不能被6整除。
优化1:
试除的范围优化到[2,n/2],这样一下子就将工作量减少了一半,代码如下:
void print_prime(int n) { int i=0; for(i=2;i<=n;i++) { int j=0; for(j=2;j<=i/2;j++) //修改部分 { if(0==i%j) break; } if(j==(i/2+1)) //修改部分 printf("%d\t",i); } }
既然能将试除范围优化到[2,n/2],那么这个范围是不是还能优化呢?答案是可以的,在[2,n/2]这个范围里(√n,n/2]的试除也是多余的。因为因数是成对出现的,比如16可分解为:1和16 、2和8、4和4、8和2、16和1。这些因数里必然有一个小于等于4。所以只需试除小于等于√n的数就可以了。
优化2:
试除范围优化为[2,√n],代码如下:
#include <stdio.h> #include <math.h> void print_prime(int n) { int i = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { int j = 0; for (j = 2; j <= sqrt(i); j++) //修改部分 { if (0 == i%j) break; } if (j >sqrt(i)) //修改部分 printf("%d\t", i); } } int main() { int num = 0; scanf("%d", &num); print_prime(num); return 0; }
上面所有的代码在找素数的时候是从2到n,在这个范围内除了2之外的偶数都不是素数,所以我们可以跳过这些偶数。
还有试除范围内除了2之外的偶数也是没有必要的,因为如果不能被2整除,必然不能被大于2的偶数整除。
优化3:
寻找素数时跳过偶数、试除范围跳过除2之外的偶数。代码如下:
void print_prime(int n) { int i = 0; if (n >= 2) //修改部分 printf("%d\t", 2); for (i = 3; i <= n; i+=2) //修改部分 { int j = 2; if(0==i%j) //修改部分 break; for (j = 3; j <= sqrt(i); j+=2) //修改部分 { if (0 == i%j) break; } if (j >sqrt(i)) printf("%d\t", i); } }
其实在上面的代码中,试除范围内的一些数也是不必要的。比如判断101是否为素数时,要分别试除小于10的2和所有奇数,即2、3、5、7、9,其实对9的试除是不必要的。即对所有的非素数的试除是不必要的,因为非素数必然可分解为比它小的素数的乘积,既然它的质因数不能整除某个数,这个数必然也不能。故试除的范围可缩小到小于等于√n的所有素数。
优化4:
只试小于√n的素数
那么问题来了,要试除这些素数时必然要将前面求出的素数保存起来,开辟多大一块空间合适呢?因为n的大小未知,所以无法确定开辟多少空间。这里可以使用动态内存开辟空间,当空间不够时使用realloc()追加空间。
代码实现如下:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define LEN 10 //每次开辟空间的大小 void print_prime(int n) { int *p = (int*)calloc(sizeof(int),LEN); if (p == NULL) { printf("out of memory !\n"); exit(EXIT_FAILURE); } int i = 0, j = 1; int count = 1; if (n >= 2) //第一个素数,输出并保存起来 { printf("%d\t", 2); p[0] = 2; } for (i = 3; i <= n; i += 2) { int k = 0; while (p[k]>0 && p[k] <= sqrt(i)) //试除保存的素数 { if (i%p[k] == 0) break; k++; } if (!p[k] || (p[k] > sqrt(i))) //将新求出的素数保存起来 { printf("%d\t", i); if (j >= (LEN*count)) { count++; p = realloc(p, sizeof(int)*LEN*count); if(p==NULL) exit(EXIT_FAILURE); } p[j] = i; j++; } } free(p); } int main() { int num = 0; scanf("%d", &num); print_prime(num); return 0; }
解法二:筛法
这种方法求素数的思想就是,不断筛去最小的数的倍数。这个最小的数必然是素数。
比如最小的素数是2,去掉所有2的倍数;接下来最小的数是3,3就是素数,去掉所有的3的倍数;依次类推,直到最小的数小于等于√n为止。为什么是√n呢? 在上面的试除法中讲到只要试除小于等于√n的所有素数即可判断出小于等于n的所有素数,这里同样适用,只要去掉所有的小于等于√n的所有数的倍数,剩下的数就是小于等于n的所有素数。
代码如下:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> void print_prime(int n) { int *arr=(int*)malloc(sizeof(int)*n); if (arr == NULL) { printf("out of memory !\n"); exit(EXIT_FAILURE); } int i = 0, j = 0; for (i = 0; i < n - 1; i++) //初始化数组[2,n] { arr[i] = i + 2; } while (arr[j] <= sqrt(n)) //除数的范围 { for (i = j + 1; i < n - 1; i++) { if (arr[i] % arr[j] == 0)//筛去arr[i]的倍数 arr[i] = 0; } j++; while (!arr[j]) //确定最小数 j++; } for (i = 0; i < n - 1; i++) //打印素数 { if (arr[i]) printf("%d\t", arr[i]); } free(arr); } int main() { int num = 0; scanf("%d", &num); print_prime(num); return 0; }
上面的代码有一个很明显的缺陷就是开辟的空间过大,如何来解决这个问题呢?
上面代码所开辟的空间为int型,占用空间太多,我们可以构造一个bool型数组,以下标来存储数据,这样就节省了75%的空间。
优化1:
构造bool型数组,以下标来存储数据,每个数只占一个字节。
代码如下:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <stdbool.h> #include <math.h> void print_prime(int n) { bool *arr=(bool*)malloc(sizeof(bool)*n); if (arr == NULL) { printf("out of memory !"); exit(EXIT_FAILURE); } int i = 0, j = 2; for (i = 0; i <= n; i++)//初始化数组为true { arr[i] = true; } while (j <= sqrt(n)) //除数的范围 { for (i = j + 1; i <= n; i++) { if (i%j == 0) arr[i] = false; //筛除 } j++; while (!arr[j]) //寻找最小数 j++; } for (i = 2; i <= n; i++) //打印素数 { if (arr[i]) printf("%d\t", i); } free(arr); } int main() { int num = 0; scanf("%d", &num); print_prime(num); return 0; }
上面的代码使用bool类型占一字节来存储数据,想到这里,我们是不是可以用位来存储数据,一个字节有8位,每位节用bool值来表示这样空间利用率会大大的提高。
优化2:
构造定长的byte数组,用bit位存储数据
代码如下:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> //将ch的第position位 置0 unsigned char set_bit_0(unsigned char ch, int position) { return ch & (~ ( (unsigned char)pow(2, position) ) ); } //找arr指向的内存第position个位起,第一个不为0的比特位 int check_bit_1(int num,const unsigned char *arr, int pos) { while (pos<= num) { if (( (arr[pos / 8] >> (pos % 8) ) & 1) == 1) return pos; pos++; } return 0; } //求解素数 void print_prime(int n) { unsigned char *arr = (unsigned char*)malloc(sizeof(unsigned char)*n / 8+1); if (arr == NULL) { printf("out of memory !\n"); exit(EXIT_FAILURE); } int i = 0,j=2; for (i = 0; i < n/8+1; i++) //将bit数组置为全1 { arr[i] = 0xff; } while (j <= sqrt(n)) //筛除范围 { for (i = j + 1; i <= n; i++) { if (i%j == 0) //将非素数对应的位 置0 arr[i / 8] = set_bit_0( arr[i / 8] , i % 8); } j++; j = check_bit_1(n,arr, j); if (j == 0) break; } for (i = 2; i <= n; i++) //打印素数 { i = check_bit_1(n,arr, i); if (i == 0) break; printf("%d\t", i); } } int main() { int num = 0; scanf("%d", &num); print_prime(num); return 0; }
题目二:
从小到大依次打印N个素数
解法一:试除法
经过题目一的求解优化,这里直接给出试除法优化的终极版:试除保存起来的素数。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> void print_N_prime(int num) { int count = 0; int i = 3,j=0,flag=2; int *arr = calloc(num,sizeof(int)); if(arr==NULL) { printf("out of memory !\n"); exit(EXIT_FAILURE); } arr[0] = 2; count = 1; //统计素数的个数 while (count<num) { for (j = 0; arr[j] <= sqrt(i) && arr[j] ; j++) //试除判断素数 { if (i%arr[j] == 0) break; } if (arr[j] > sqrt(i)) { arr[count]=i; count++; } i++; } for (i = 0; i < count; i++) //打印素数 { printf("%d\t", arr[i]); } } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); print_N_prime(n); return 0; }
解法二:筛法
筛法需要容器,这个容器要多大呢?由素数定理可以近似求出素数的分布范围。如0~x中有x/lnx个素数,反推即可求出n个素数的分布范围,由于这只是近似,把容器再扩大30%,应该足够了。
求出范围后解法与题目一类似,只需在输出素数时控制输出个数即可。
注:本文借鉴了program_think在CSDN的博客,求解素数的N种境界(N>10)
http://blog.csdn.net/program_think/article/details/7032600