0-1背包问题分析

目录

​​概念​​

​​步骤​​

​​数组转化​​

​​遍历顺序​​

​​代码编写​​

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概念

W：背包最大总重量

Y：当前最大总重量限制（遍历时会变动：0~W）

N：物品的总数量

w_j：物品 j 的重量（j=0~N）

p_j：物品 j 的价值

A(j, Y)：总重量不超过Y的前提下，前 j 个物品的最高价值

步骤

单重+单价\总重Y	0	1	5	9
0，0
1，2
4，3
5，4

对于j=0，A(0, Y) = 0；

对于Y=0，A(Y,0) = 0。

单重+单价\总重Y	0	1	5	9
0，0	0	0	0	0
2，2	0
4，3	0
5，4	0

对于j=1，wj=2，pj=2，Y=1时，有wj > Y，因此放不下，所以沿用前(j-1)个时的价值，而Y不变。

单重+单价\总重Y	0	1	5	9
0，0	0	0	0	0
2，2	0	0
4，3	0
5，4	0

有可能放入后的总价值，还不如不放入的高。

比如：总重量5，已经放入了(4,5)，现在要放进去(2,1)，挤出去(2,2)，那总重量更新为(4,4)，总价值变得更小了。

0560,00002,302,32,204,52,104,4??

对于j=1，wj=2，pj=2，Y=5时，有wj < Y，因此可以放下。

A(j-1，Y）：不放入当前物品时的最大价值。

A(j-1，Y-wj）：对于前j-1个物品，最大值重量为Y-wj时，看它能存的最大总价值是多少。

pj+A(j-1，Y-wj）：即先看去掉当前物品重量后，能存的最大价值，再加上当前物品的价值。

单重+单价\总重Y	0	1	5	9
0，0	0	0	0	0
2，2	0	0	2,2	2,2
4，3	0	0	4,3	6,5
5，4	0	0	5,4	9,7

数组转化

前 i 个物品，在最大重量限制为 j 的情况下，最大价值为 dp[i][j]。

• 由于存在0行和0列，因此长度需要额外+1。
• 重量长度 = 背包总重+1。
• 物品长度 = 物品总数+1。
• 根据递推公式，当前 dp[i][j] 由上方或左上角的内容，推算而来。
• 最后结果只需要返回dp右下角的值即可。

遍历顺序

两层for循环：

• 第一层(外层)：遍历物品
• 第二层(内层)：遍历背包
• 备注：对于当前的二维数组，顺序可颠倒。

for i in range(1, N+1):
    for j in range(1, W+1):
        ... ...

代码编写

class Solution:
    def package(self, N, W, weights, values):
        # 创建数组并初始化
        dp = [[0 for _ in range(W+1)] for _ in range(N+1)]
        # 遍历物品
        for i in range(1, N+1):
            # 当前物品重量
            pi = values[i-1]
            # 当前物品价值
            wi = weights[i-1]
            # 遍历背包
            for j in range(1, W+1):
                # 放不下的情况
                if wi > j:
                    # 沿用前面的价值
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                # 放得下的情况
                else:
                    # 取"放"和"不放"两者的较大值
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], pi+dp[i-1][j-wi])
        for i in dp: print(i)
        # 输出结果
        print(dp[-1][-1])

[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 4, 4, 4]
[0, 2, 4, 6, 6]
[0, 2, 4, 6, 6]
6