Smile and maybe tomorrow you'll see sun come shinning through.
微笑吧，或许明天你就会看到太阳照耀着你。
问题描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。
请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
- 2 <= n <= 58
数学方式解决
在做这题之前我们先来看这样一个问题，一个整数先把他分成两部分，x+y=n（假设x>=y并且x-y<=1,也就是说x和y非常接近）那么乘积是x*y。然后我们再把这两部分的差放大(x+1)+(y-1)=n(假设x>=y)；他们的乘积是（x+1）*(y-1)=x*y-(x-y)-1，很明显是小于x*y的，所以我们得出结论，如果把整数n分为两部分，那么这两部分的值相差越小乘积越大。
同理还可以证明如果分成3部分，4部分……也是相差越小乘积会越大。
根据上面的证明，如果我们把长度为n的绳子分为x段，则每段只有在长度相等的时候乘积最大，那么每段的长度是n/x。所以他们的乘积是(n/x)^x。我们来对这个函数求导
通过对函数求导我们发现，当x=n/e的时候，也就是每段绳子的长度是n/x=n/(n/e)=e的时候乘积最大。我们知道e=2.718281828459。而题中我们的绳子剪的长度都是整数，所以不可能取e，我们只能取接近e的值，也就是3的时候乘积最大。
但也有例外，当n<=4的时候会有特殊情况，因为2*2>1*3。明白了这点代码就容易多了，如果n大于4，我们不停的把绳子减去3，来看下代码
1public int cuttingRope(int n) { 2 if (n == 2 || n == 3) 3 return n - 1; 4 int res = 1; 5 while (n > 4) { 6 //如果n大于4，我们不停的让他减去3 7 n = n - 3; 8 //计算每段的乘积 9 res = res * 3;10 }11 return n * res;12}或者如果不想使用循环，我们还可以使用公式
1public int cuttingRope(int n) { 2 if (n == 2 || n == 3) 3 return n - 1; 4 else if (n % 3 == 0) { 5 //如果n是3的倍数，绳子全部剪为3 6 return (int) Math.pow(3, n / 3); 7 } else if (n % 3 == 1) { 8 //如果n对3求余等于1，我们剪出一个长度为4的，其他长度都是3 9 return 4 * (int) Math.pow(3, (n - 4) / 3);10 } else {11 //如果n对3求余等于2，我们剪出一个长度为2的，其他长度都是312 return 2 * (int) Math.pow(3, n / 3);13 }14}动态规划解决
定义一个数组dp，其中dp[i]表示的是长度为i的绳子能得到的最大乘积。我们先把长度为i的绳子拆成两部分，一部分是j，另一部分是i-j，那么会有下面4种情况
1，j和i-j都不能再拆了
- dp[i]=j*(i-j);
2，j能拆，i-j不能拆
- dp[i]=dp[j]*(i-j);
3，j不能拆，i-j能拆
- dp[i]=j*dp[i-j];
4，j和i-j都能拆
- dp[i]=dp[j]*dp[i-j];
我们取上面4种情况的最大值即可。我们把它整理一下，得到递推公式如下
dp[i] = max(dp[i], (max(j, dp[j])) * (max(i - j, dp[i - j])));
比如我们想计算长度为9的绳子，画个图来看一下
计算长度为9的绳子之前，我们必须要先计算长度为8的绳子。对于长度为9的绳子我们可以先分为两部分，每一部分都取最大值，然后相乘。
最后再来看下代码
1public int cuttingRope(int n) { 2 int[] dp = new int[n + 1]; 3 dp[1] = 1; 4 for (int i = 2; i <= n; i++) { 5 for (int j = 1; j < i; j++) { 6 dp[i] = Math.max(dp[i], (Math.max(j, dp[j])) * (Math.max(i - j, dp[i - j]))); 7 } 8 } 9 return dp[n];10}总结
这题应该说更像是一道数学题，使用数学的方式很容易解决，动态规划的递推公式可能不太容易想到。
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