前言
所有自然数的和相加为多少呢，即 $1$$+$$2$$+$$3$$+$$4$$+$$5$$+$$6$$+$$\cdots$$=$$?$，估计我们都会说是 $+\infty$，但数学家说 $1$$+$$2$$+$$3$$+$$4$$+$$5$$+$$6$$+$$\cdots$$=$$-\cfrac{1}{12}$，那么数学家到底是如何计算的呢？以下是数学家使用的最简计算过程，大家自行体会：
相关储备
<LT></LT> 求值：$S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$
解： $S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$
即，$S=$$1-(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots)$
则 $S=1-S$，解得 $S=\cfrac{1}{2}$ .
正式求解
<LT></LT> 求值：$1$$+$$2$$+$$3$$+$$4$$+$$5$$+$$6$$+$$\cdots$$=$$?$
解：令 $S_1=$$1$$+$$2$$+$$3$$+$$4$$+$$5$$+$$6$$+$$\cdots$ ①
再令 $\quad$$S_2=$$1$$-$$2$$+$$3$$-$$4$$+$$5$$-$$6$$+$$\cdots$ ②
①-② 得到，$S_1$$-$$S_2$$=$$4$$+$$8$$+$$12$$+$$16$$+$$\cdots$$=$4($1$$+$$2$$+$$3$$+$$4$$+$$5$$+$$6$$+$$\cdots$)$=$ $4S_1$
即 $-3S_1=S_2$， 则 $S_1=-\cfrac{1}{3}S_2$，以下重点求解 $S_2$，
由于 $S_2$$=$$1$$-$$2$$+$$3$$-$$4$$+$$5$$-$$6$$+$$\cdots$
则 $\quad$$S_2$$=$0+$1$$-$$2$$+$$3$$-$$4$$+$$5$$-$$6$$+$$\cdots$ $\quad$ 此处用 $0$ 补位，是为了错位相加，
则 $2S_2=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$，而由上题我们知道，$1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots=\cfrac{1}{2}$，
故 $2S_2=\cfrac{1}{2}$， $S_2=\cfrac{1}{4}$，代入 $S_1=-\cfrac{1}{3}S_2$，
可得到， $S_1=-\cfrac{1}{12}$，即 $1$$+$$2$$+$$3$$+$$4$$+$$5$$+$$6$$+$$\cdots$$=$$-\cfrac{1}{12}$，逆天吧 .
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