一元二次方程
原创
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只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程有4种解法,即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
配方法比较简单:首先将二次项系数a化为1,然后把常数项移到等号的右边,最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方,左边配成完全平方式,再开方就得解了。
公式法可以解任何一元二次方程。
因式分解法,也就是十字相乘法,必须要把所有的项移到等号左边,并且等号左边能够分解因式,使等号右边化为0。
除此之外,还有图像解法和计算机法。
图像解法利用二次函数和根域问题粗略求解。
满足条件
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ax²+bx+c=0先化简,后判断。
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程),这点请注意!
②只含有一个未知数;
③未知数项的最高次数是2。
方程形式
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一般式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如ax²+bx+c=0 (a≠0,且a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数,而二次项系数a必须是不等于0的实数。要先确定二次项系数,再确定一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式。
变形式
ax²+bx=0(a、b是实数,a≠0);
ax²+c=0(a、c是实数,a≠0);
ax²=0(a是实数,a≠0).
注:a≠0这个条件十分重要.
配方式
两根式
求解方法
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开平方法
形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程能化成(nx+m)²=p的形式,那么
,进而得出方程的根。
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
配方法
步骤
将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解,如果右边是非负数,则方程有两个实根;如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²
配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例
例一:用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x²-4x=2
求根公式法
步骤
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式
,确定a,b,c的值(注意符号);
③在
(注:此处△读“德尔塔”)的前提下,把a、b、c的值代入公式
进行计算,求出方程的根。