[动态规划]DP15 拦截导弹-中等

​​DP15 拦截导弹​​

Dilworth定理 最少的下降序列个数就等于整个序列最长上升子序列的长度

描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于1000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

数据范围：导弹个数 n 满足 $1 \le n \le 1000 \$ ，导弹的高度 m 满足 $1 \le m \le 1000 \$

输入描述：

第一行输入一个正整数 n ，表示导弹的个数

第二行输入 n 个正整数，表示导弹的高度

输出描述：

输出一套拦截系统最多拦截多少导弹和最少要配备多少套导弹拦截系统两个正整数

示例1

输入：

8
389 207 155 300 299 170 158 65

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输出：

6
2

题解

根据题意，第一个输出值是要求最长非递增子序列的最大长度，这个相当于是最长递增子序列问题的变体。第二个问题，实际上是说将输入的数组划分成K个子序列，然后这些子序列都必须是非递增的，求K的最小值。

哈哈，对于第二个问题，俺没有啥好的想法，别人都说根据Dilworth定理 最少的下降序列个数就等于整个序列最长上升子序列的长度。我按照这个方法写出代码，确实全部的case都过来，哈哈，权且记住咯~~

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

std::pair<int, int> solve(const std::vector<int> &v)
{
  if (v.size() == 0)
  {
    return {0, 0};
  }

  // dp[i]表示0~i个元素的最长非递增子序列长度
  std::pair<int, int> ans{1, 1};// 表示
  std::vector<int> dp(v.size(), 1);
  int len = 1;
  for (int i = 1; i < v.size(); ++i)
  {
    for (int k = i - 1; k >= 0; --k)
    {
      if (v[i] <= v[k])
      {
        dp[i] = std::max(dp[i], dp[k] + 1);
      }
    }
    len = std::max(len, dp[i]);
  }

  std::vector<int> dp_2(v.size(), 1);
  for (int i = 1; i < v.size(); ++i)
  {
    for (int k = i - 1; k >= 0; --k)
    {
      if (v[i] > v[k])
      {
        dp_2[i] = std::max(dp_2[i], dp_2[k] + 1);
      }
    }
    ans.second = std::max(ans.second, dp_2[i]);
  }
  ans.first = len;
  return ans;
}

int main()
{
  int n;
  std::cin >> n;
  std::vector<int> v(n);
  while (n > 0)
  {
    std::cin >> v[v.size() - n];
    n--;
  }
  auto ans = solve(v);
  std::cout << ans.first << std::endl;
  std::cout << ans.second << std::endl;
  return 0;
}