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一、背景
通过上篇文章《自已作图搞清楚自平衡的二分搜索树（一）—AVL树的定义及原理》，我们了解了AVL树的实现原理，并在文末通过实例演示了在AVL树加入一个节点，破坏了AVL的平衡性；本文将通过动画的形式展现通过旋转操作调节平衡性，最终保持AVL树的构成。
二、旋转操作
往AVL树中添加结点很可能会导致失去平衡，所以我们需要在每次插入结点后进行平衡的维护。破坏平衡性有如下四种情况：
2.1 L L–需要通过右旋操作
- 在结点的左子树(L)的左孩子(L)添加新的结点，会导致失去平衡：
- 通过右旋操作（顺时针转）将平衡因子大于1的结点进行调整
- 完整动画演示
- 代码处理
// 右旋（顺时针转）
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T = x.right;
// 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T;
// 更新height
y.height = setHeight(y);
System.out.println("元素[" + y.e + "] 右旋后更新高度： height=" + y.height);
x.height = setHeight(x);
System.out.println("元素[" + x.e + "] 更新高度： height=" + x.height);
return x;
}
2.2 R R–需要通过左旋操作
- 在结点的右子树(R)的右孩子(R)添加新的结点，会导致失去平衡：
- 通过左旋操作（逆时针转）将平衡因子大于1的结点进行调整
- 完整动画演示
- 代码处理
// 左旋(逆时针转)
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T;
// 更新height
y.height = setHeight(y);
System.out.println("元素[" + y.e + "] 左旋后更新高度： height=" + y.height);
x.height = setHeight(x);
System.out.println("元素[" + x.e + "] 更新高度： height=" + x.height);
return x;
}
2.3 L R–需要先通过左旋再右旋操作
- 在结点的左子树(L)的右孩子(R)添加新的结点，会导致失去平衡：
- 先通过左子结点的左旋操作（逆时针转）转成LL形式，再通过右旋操作（顺时针转）将平衡因子大于1的结点进行调整
- 完整动画演示
2.4 R L–需要先通过右旋再左旋操作
- 在结点的右子树(R)的左孩子(L)添加新的结点，会导致失去平衡：
- 先通过右子结点的右旋操作（顺时针转）转成RR形式，再通过左旋操作（逆时针转）将平衡因子大于1的结点进行调整
- 完整动画演示
二、AVL树完整代码实现
/**
* AVL树
*
* @param <E> 元素
* @author zhuhuix
* @date 2020-07-21
*/
public class AVL<E extends Comparable<E>> {
// 私有内部类-树结点
private class Node<E> {
E e;
Node left, right;
// 高度
int height;
Node(E e) {
this.e = e;
this.left = null;
this.right = null;
this.height = 1;
}
}
// 根结点
private Node root;
// 获得节点node的高度
private int getHeight(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return node.height;
}
// 计算结点的高度
private int setHeight(Node node) {
return node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
}
// 获得节点node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 右旋（顺时针转）
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T = x.right;
// 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T;
// 更新height
y.height = setHeight(y);
System.out.println("元素[" + y.e + "] 右旋后更新高度： height=" + y.height);
x.height = setHeight(x);
System.out.println("元素[" + x.e + "] 更新高度： height=" + x.height);
return x;
}
// 左旋(逆时针转)
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T;
// 更新height
y.height = setHeight(y);
System.out.println("元素[" + y.e + "] 左旋后更新高度： height=" + y.height);
x.height = setHeight(x);
System.out.println("元素[" + x.e + "] 更新高度： height=" + x.height);
return x;
}
// 增加元素
public void add(E e) {
root = addNode(root, e);
}
// 通过递归算法遍历现有结点，将新结点插入到合适的位置
private Node addNode(Node node, E element) {
if (node == null) {
System.out.println("新增元素[" + element + "] height=1");
return new Node(element);
}
// 新加入元素小于结点值，往左子树增加
if (element.compareTo((E) node.e) < 0) {
node.left = addNode(node.left, element);
// 新加入元素大于结点值，往右子树增加
} else if (element.compareTo((E) node.e) > 0) {
node.right = addNode(node.right, element);
} else // element.compareTo(node.e) == 0
{
node.e = element;
}
// 更新height
node.height = setHeight(node);
System.out.println("元素[" + node.e + "] 更新高度： height=" + node.height);
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (node != null) {
System.out.println("元素[" + node.e + "] "
+ "左子结点为:[" + (node.left == null ? "" : node.left.e) + "]"
+ "右子结点为:[" + (node.right == null ? "" : node.right.e) + "]"
+ ",balanceFactor=" + balanceFactor);
}
// 平衡维护
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
System.out.println("元素[" + node.e + "] balanceFactor=" + balanceFactor + ",进行右旋");
return rightRotate(node);
}
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
System.out.println("元素[" + node.e + "] balanceFactor=" + balanceFactor + ",进行左旋");
return leftRotate(node);
}
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
System.out.print("元素[" + node.e + "] balanceFactor=" + balanceFactor + " 先将[" + node.e + "的左子结点" + node.left.e + "] 进行左旋");
node.left = leftRotate(node.left);
System.out.println("再将元素[" + node.e + "] 进行右旋");
return rightRotate(node);
}
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
System.out.print("元素[" + node.e + "] balanceFactor=" + balanceFactor + " 先将[" + node.e + "的右子结点" + node.right.e + "] 进行右旋");
node.right = rightRotate(node.right);
System.out.println("再将元素[" + node.e + "] 进行左旋");
return leftRotate(node);
}
return node;
}
// 判断二叉树是否为二分搜索树:从根结点中序遍历形成的序列是否从小到大有序排列
public boolean isBST() {
ArrayList<E> arrayList = new ArrayList<>();
InOrderTraversal(root, arrayList);
for (int i = 0; i < arrayList.size() - 1; i++) {
// 相邻两个元素比较，如果前一个元素大于后一个元素，则不为二分搜索树
if (arrayList.get(i).compareTo(arrayList.get(i + 1)) > 0) {
return false;
}
}
System.out.println("中序遍历：" + arrayList.toString());
return true;
}
// 通过中序遍历形成序列
private void InOrderTraversal(Node node, ArrayList<E> arrayList) {
if (node == null) {
return;
}
InOrderTraversal(node.left, arrayList);
arrayList.add((E) node.e);
InOrderTraversal(node.right, arrayList);
}
// 前序遍历打印
public void preOrderTraversal() {
ArrayList<E> arrayList = new ArrayList<>();
preOrderTraversal(root, arrayList);
System.out.println("前序遍历" + arrayList);
}
// 通过前序遍历形成序列
private void preOrderTraversal(Node node, ArrayList<E> arrayList) {
if (node == null) {
return;
}
arrayList.add((E) node.e);
preOrderTraversal(node.left, arrayList);
preOrderTraversal(node.right, arrayList);
}
// 判断是否是一棵平衡二叉树
public boolean isBalancedTree() {
return isBalanced(root);
}
// 通过递归遍历判断是否为平衡二叉树：判断每个结点的平衡因子的绝对值是否有大于1的存在
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {
return true;
}
// 获取该结点的平衡因子，并判断平衡因子的绝对值是否大于1
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
System.out.println("元素[" + node.e + "] 平衡因子=" + balanceFactor + "，超过1");
System.out.println("元素[" + node.e + "] 左子树的高度=" + node.left.height + ",右子树的高度=" + node.right.height);
return false;
}
// 遍历判断结点的左子树和右子树的各个结点
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
public static void main(String[] args) {
// 定义一个数组
Integer[] arr = {48, 30, 66, 21, 34, 57, 78, 14};
// 将该数组构建成一个二分搜索树
AVL<Integer> avl = new AVL<>();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avl.add(arr[i]);
}
// 判断当前的二叉树是否满足二分搜索树的定义
boolean isBST = avl.isBST();
boolean isBalance = avl.isBalancedTree();
// 判断当前的树是否满足AVL定义
if (isBST && isBalance) {
System.out.println("该二叉树满足二分搜索树及平衡的条件，是AVL树!!!");
} else {
System.out.println("该二叉树不是AVL树;" + "是否满足二分搜索树条件：" + isBST + " ;是否满足平衡条件:" + isBalance);
}
// 给该AVL树加上一个结点，再次判断是否判断
avl.add(10);
// 判断当前的二叉树是否满足二分搜索树的定义
isBST = avl.isBST();
isBalance = avl.isBalancedTree();
// 判断当前的树是否满足AVL定义
if (isBST && isBalance) {
System.out.println("该二叉树满足二分搜索树及平衡的条件，是AVL树!!!");
} else {
System.out.println("该二叉树不是AVL树;" + "是否满足二分搜索树条件：" + isBST + " ;是否满足平衡条件:" + isBalance);
}
}
}
- 构建AVL树过程
- 添加结点AVL树平衡过程
