AVL平衡二叉树旋转详解

AVL(平衡二叉树)

AVL定义

• 左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1，高度之差也叫做平衡因子（Balance Factor），简称BF
• 左右子树也都是平衡二叉树

当一个节点没有左子树时，左子树高度为-1
当一个节点的左子树时叶子节点时，左子树的高度为0
当一个节点的左子树的左子树是叶子节点时，左子树的高度为1
# 如图所示：
# 例1：
以2为根节点，左子树的高度为0，右子树的高度为1，0 - 1 = 1，满足平衡二叉树条件 -1 <= BF <= 1
# 例2：
以1为根节点，左右子树的高度都为-1，-1 - -1 = 0，满足平衡二叉树条件 -1 <= BF <= 1,叶子节点也是平衡二叉树
# 例3：
以3为根节点，左子树高度为-1，右子树高度为0，-1 - 0 = -1，满足平衡二叉树条件 -1 <= BF <= 1

AVL插入

• 二叉平衡树在插入或删除一个结点时，先检查该操作是否导致了树的不平衡，若是，则在该路径上查找最小的不平衡树，调节其平衡。
• 4种平衡调整如下：

LL(左左右单旋转)

# LL(左左)右单旋转，举例：
1、插入20后，导致50为根节点的树失衡（左子树高度为2，右子树高度为0，已40为根节点的树并没有失衡）
2、20节点在50的左子树上，最终也是在30的左子树上，在左左子树的左边节点，满足左左，进行右单旋转
3、右单旋转可以把树看做是一根链条，以50为支点，向右边拉动一格
4、旋转完成后，恢复平衡

RR左单旋转

# RR(右右)左单旋转，举例：
1、插入65后，导致40为根节点的树失衡（左子树高度为0，右子树高度为2，已50为根节点的树并没有失衡）
2、65节点在40的右子树上，最终也是在60的右子树上，在右子树的右边节点，满足右右，进行左单旋转
3、左单旋转可以把树看做是一根链条，以40为支点，向左边拉动一格
4、旋转完成后，恢复平衡

LR左右情况

# 无法通过一次旋转恢复平衡，先将左子树向左旋转一次，转换成LL型，再向右旋转
# 第一列：
1、插入42后，导致50为根节点的树失衡（左子树高度为2，右子树高度为0）
2、42插入在左子树的右子树上，将左子树向左旋转一次
3、此时满足了LL，向右旋转一次
4、恢复平衡

RL右左情况

# 无法通过一次旋转恢复平衡，先将右子树向右旋转一次，转换成RR型，再向左旋转
# 第一列：
1、插入43后，导致40为根节点的树失衡（左子树高度为0，右子树高度为2）
2、43插入在右子树的左子树上，将右子树向右旋转一次
3、此时满足了RR，向左旋转一次
4、恢复平衡