用python绘制连续信号卷积 连续信号求卷积

相比于前两篇 $Blog$ 中关于卷积物理意义以及性质的讨论，这篇 $Blog$

典型例题来袭

注：勘误！！下面的例题中，关于 $h(-τ)$ 的函数波形，在 $t = -2T$的时候的函数值应该为 $2T$

在着手开始分析第一个例子之前，我们回顾一下连续信号的卷积公式：$y(t) = \int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t-τ)dτ$
其中，$x(τ)$ 和 $h(t-τ)$ 代表两者的重叠部分，具体的值是两个重叠部分函数值的乘积。 $τ$

其实，这个表达式是一个囊括了不同情况的综合表达式，很多时候，我们计算的卷积往往是分段函数，这时，积分的上下限就不能是简单的 $+∞$ 和 $-∞$了

【例题一】：求以下两个信号的卷积

$Step 1$：先画出 $x(τ)$ 和 $h(-τ)$：

还记得我们在关于卷积的第一篇 $Blog$ 里面谈到的吗：$h(t - τ)$ 代表的是对 $h(-τ)$，具体把 $h(-τ)$ 的原点移动到什么地方呢？就是看 $x(τ)$ 图像中，我们要求的 $τ = t$

$Step2$：我们要大致观察以下 $t$ 取什么值的时候二者有重叠部分，取什么值的时候没有重叠部分
从本题，很明显，在 $t < 0$，以及 $t > 3T$ 的时候，二者没有重叠，因此也有：$y(t)=0$

而在 $0 < t < T$；$T < t < 2T$ 以及 $2T < t < 3T$

（1）在 $0 < t < T$

黄色区域是二者重叠部分，不过我们重点关系的，是这个重叠部分的范围，显然，是：$[0, t]$
因此，$τ$ 的范围就是：$0 < τ < t$，在这个范围下，那条斜线就是 $h(t - τ)$，横线就是 $x(τ)$。那么我们可以知道：在此范围下，$x(τ) = 1$、$h(t-τ) = -(τ - t)$（因为 $h(t-τ)$

因此，我们就带入公式，得：$y(t) = \int_{0}^{t}-(τ - t)dτ = \frac{1}{2}t^2$

至此，我们完成了第一个重叠区间的卷积积分的计算

对于 $T < t < 2T$

黄色区域是重叠部分，重叠部分的范围是 $[0, T]$，因此，$0 < τ < T$，重叠区域两函数表达式和第一种情况一样，因此，我们有：$y(t) = \int_{0}^{T}-(τ - t)dτ = Tt - \frac{1}{2}T^2$

后面的情况，处理方法一样，这里就不赘述啦。最终的结果和 $y(t)$

始终贯穿这一方法，卷积积分的计算也就不那么困难了！

好啦！这篇 $Blog$ 到这里就结束辽！和之前的两篇 $Blog$ 结合在一起，就成了 “卷积三剑客”。希望这三篇 $Blog$

“卷积笔记三剑客地址”：

【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界 1【详细整理+个人理解】

【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界 2【系统基本性质和卷积的关系】

【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界3 【技巧方法篇】 连续时间信号的卷积计算技巧