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这节讲马尔可夫决策和Bellman方程
其实到这也是基础吧，我之前的前三篇可能基础概念铺垫的不多，大家读起来费劲，所以没说明阅读量，直到我第四篇认真的科普RL的基础，然后还是没什么人阅读
先说马尔可夫决策的要求：
1- 得能够检测到理想的状态，才配叫state，别不可测，比如下围棋，你得知道什么是赢什么是输
2- 可以多次尝试，不允许多次尝试的任务不适合
3- 这个系统得next-state，比如St+1只和当前的状态St相关，而与再早先的state，比如St-1无关了
4- 在决策的时候，还和你在state状态下，执行了什么action有关，比如你在下象棋的时候被人家将军，你直接支士
满足以上要求才能执行马尔可夫决策
马尔可夫决策的过程包含5个元素：
S就是我们说的state，这个是一系列的state也就是states
A是一些列动作actions
P是大家都知道一般表示概率，比如某一个state 小s它属于states大S，我们列式子就是s∈S, 同理action 属于actions a∈A, 我们在s的状态下执行a，s的状态从s转移到s'的这个概率，我们用P(s'|s,a)来表示，一般管这个叫概率转移矩阵
R 就是reward fuction，即奖励函数，表示agent或者叫Actor （这块看不懂，看上一节）采取某个action之后得到的瞬时奖励
γ也就是折扣系数，这个理解起来也不难，比如你做了一个动作不光对当前的state s有影响，也会对之后的state都会有影响，引申的含义就是当前的状态也会影响到之后状态所获得的奖励，但是当下的奖励的重要性一定会大于未来的奖励，γ的取值范围也是0到1（不能是1）， 比如0.4,0.6，理论上越近折扣系数应该越高，这个也好理解，列成式子就是
举个例子
Agent或者叫Actor的初始状态是s0，选择个动作a0来执行，那么经过概率转移矩阵Psa
之后就是P(s1|s0,a0)得到了s1，之后就是重复这个套路
下面讲Bellman方程
1讲Bellman方程之前，先普及状态价值函数
t时刻的状态s就是St , Ut是t时刻的回报，E自然就是期望了，所以整个式子的意思就是来求从t时间的某一状态s到之后的所有时间点累积的奖励期望回报
写成上面这个式子的格式可能更好理解一点
从一个t时候的s状态到之后的所有时间点，必然是经过了若干动作，那这个动作的概率分布，我们就称其为策略policy
最优价值函数就是
其中π一般在深度强化学习里代表Policy网络，这个我们之后讲，这里就理解π即使policy的缩写就可以了
而最优价值函数的意思就是，求所有的policy下最优的奖励期望（把神经网络的参数训练到最优，让产出的action能给到最优reward）
而Bellman方程的定义
把价值函数给分解了，变成当前价值取决于2个因子。1是当前的奖励2是下一步的价值，如下式子所表示
中括号里加号左边的就是当前s的奖励R，而加号右边的就是下一步的s'价值函数，但是因为是未来的，所以给加了一个折扣因子
怎么理解这个玩意呢？
比如说以下的一个状态机，这里面R就代表奖励，但是圆型的状态代表有后续，除非有明确的quit，方形的节点代表终结。
圆形的有的有一个后续，有的有多个候选选择（概率），不同的action，有不同的奖励得分，比如刷facebook就扣1分-1，比如学习就加10分之类的
比如我们从图右侧的圆圈s4出发，它有2个路径（s3,s5）对吧，概率分别为百分之50，有2个选择：
1- 往上去时study学习，然后得10分，直接终结
2- 往下去时是pub，得1分，但是仍然没法终结，所以在pub之后还有3种可能性，分别是20%概率的去往第一个圆s2，40%概率的去往第二个圆s3，和40%概率又回到原始的第三个圆s4
我们可以从第三个圆形s4的节点出发，简单做一个值函数的累加
首先在当前状态下的两种可能
第一种0.5*10，因为它没有下一个状态了，所以下一个状态的值函数=0
第二种0.5*1+[后面3种状态的值函数概率加乘] 即为0.5*1+0.2*1+0.4*1+0.4*1
到这一步，因为在state到达s2和s3还会有若干的状态
我不想care了，因为之前提过，Bellman方程只和即时奖励和下一个状态值函数相关，和下下个状态无关，但是请别忘记，下一个状态的值函数，也和它的下一个状态的值函数相关，所以其实要一直算到stop或者quit为止，咱们在这就不算了，理解什么意思就可以了
马尔可夫和bellman方程就解释完了，下节计划是讲Policy gradient
