文章链接:322. 零钱兑换、279.完全平方数、139.单词拆分、多重背包、背包问题总结
322.零钱兑换
思路:
1.确定dp数组含义:装满量为j的物品个数最小为dp[j];
2.递推公式:
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
3.初始化dp数组:
dp[0] = 0;
非0下标:INT_MAX;
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX - 1);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX - 1) return -1;
return dp[amount];
}
};
279.完全平方数
思路:
转换成背包问题:物品为 j * j;容量为 n;
注意:
本题一定可以返回值,因为有1这个完全平方数。
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 背包容量
for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1); // 注意:记得 + 1
}
}
return dp[n];
}
};
139.单词拆分
思路:
1.dp数组含义:对于字符串s,长度为 i 的子字符串的状态用true和false表示。
2.递推公式:
①dp[j]为true,即能在字典中找值组合成s[0 - j]的子字符串;
②能找到s[i - j]这个子字符串;
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
dp[i] = true;
}
3.初始化dp数组:
下标为0的为true,其他为false。
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end()); // 去重
vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
dp[0] = true;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < i; j++) { // 遍历物品
string word = s.substr(j, i - j); // 截取字符串
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
dp[i] = true;
}
}
}
return dp[s.size()];
}
};
多重背包
问题:
有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用,每件耗费的空间是Ci ,价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量,且价值总和最大。
转换成01背包问题:每件物品最多有Mi件可用,把Mi件摊开,其实就是一个01背包问题了。
// 实现方法:把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
int bagWeight,n;
cin >> bagWeight >> n;
vector<int> weight(n, 0);
vector<int> value(n, 0);
vector<int> nums(n, 0);
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < n; i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
// 以上为01背包,然后加一个遍历个数
for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
}
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
背包问题总结
背包问题
五部曲
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
递推公式总结
- 问能否能装满背包(或者最多装多少):dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
- 问装满背包有几种方法:dp[j] += dp[j - nums[i]];
- 问背包装满最大价值:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- 问装满背包所有物品的最小个数:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
遍历顺序
1.对于01背包:
二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的,且第二层for循环是从小到大遍历。
一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量,且第二层for循环是从大到小遍历。
2.对于完全背包:
纯完全背包的一维dp数组实现,先遍历物品还是先遍历背包都是可以的,且第二层for循环是从小到大遍历(顺序遍历)。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。