通俗来说，一句话、一段视频、一本书统统都可以称为信息。有的信息很干，我们就说它的“信息增益”大，而有的很水，那么就是“信息增益”小。
1 选择朋友
举个例子吧，比如因为工作原因，我新结识了一位小伙伴，现在想判断他是否值得交往，也就是想做一个“选择朋友”的决策。我择友的标准是“好人”，但是好坏不会写在人的脑门上，只能通过了解更多的信息来判断。信息知道的越多自然判断越准确。
当然，有的信息“信息增益”低，对“选择朋友”这个决策帮助小。比如抽烟、喝酒这个信息对“选择朋友”帮助就不大，好人、坏人都抽烟喝酒，比如于谦、于大善人就喜欢抽烟、喝酒、烫头：
而有的信息的“信息增益”很大，比如知道此人曾经因为故意伤人坐牢，那么“选择朋友”这个决策就很容易做了，基本就一票否决了。
2 数学建模
通过上面的例子，大概弄清楚“信息增益”想表达什么了，下面来看看怎么转为数学概念。为了讲解，这里设计了一个表格，每一行代表一个人（表格没有考虑现实生活的复杂性，望大家从理解算法的角度来看待其中的数据）：
假设人群中本身就好人、坏人各占一半。从表格中可以看到，“抽烟”或者“不抽烟”的人中好坏也是各占一半，因此，这个信息没有带来任何增益：
相对而言，“坐牢”这个信息更有用，也就是带来的增益更大。坐过牢的人大概率是坏人：
下面就需要设计一个数学公式，通过它可以衡量（在判断好人、坏人这个问题上）“坐牢”的“信息增益”要大于“抽烟”的“信息增益”。
3 熵
判断好人、坏人，在数学上和判断硬币的正反是相同的。所以先来讨论抛硬币：
抛硬币是服从伯努利分布的：
比如一开始认为 p=0.5 ，也就是正反面出现的概率相同，此时对下次抛硬币会出现什么完全不清楚，或者说此时确定性很低。但是把硬币拿到手上一看，原来两面都是正面，也就是 p=1 这个信息出现了，这个信息的信息增益是非常大的，它让我们完全知道下次抛硬币会是什么结果，也可以说此时确定性很高：
数学家定义了一个函数来衡量确定性，称为熵（关于熵的进一步理解可以查看这里）：
抛硬币（伯努利分布）的熵函数图像如下：
从该函数图像可以看出，p=0.5 时，熵最大，此时确定性最低；而 p=1 熵最小，此时确定性最高。同时，由于信息 p=1 的出现使得确定性提高，那么确定性的差值，也就是熵的差值就是 p=1 带来的“信息增益”：
4 信息增益
文章开头设计的表格实际上就是关于好人、坏人的一个概率分布（本质上也是伯努利分布），据此可以计算出熵
：
同样的，“抽烟”这个信息会讲上述表格一分为二，对这两个表格分别计算熵之后，进行加权平均得到
（这里有一些细节就不展开了，不清楚的同学可以去学习下决策树算法）：
“坐牢”也会将表格一分为二，通过同样的算法可以得到熵
。相对于
而言，
、
都是有了新的信息后得到，因此这两者的确定性都会提高。用数学的语言就是熵会减小，因此有（这是可以证明的）：
其中“坐牢”很显然确定性更高，因此有：
进而有：
