计算机为了方便算减法，规定了一种存储负数的方式，下边讨论一下。
计算机为了算减法，利用了同余的性质。
同余的定义是 a ≡ b ( mod m ) ，即 a mod m == b mod m ，例如 5 ≡ 17 mod ( 12 )。百度百科
同余有两个性质
反身性：a ≡ a ( mod m )；
同余式相加：若 a ≡ b ( mod m )，c ≡ d ( mod m )，则 a + c ≡ b + d ( mod m )；
现在我们进行模 16 的加法操作，先熟悉下下边的几个式子。
2 + 14 = 0
2 + （-3） = 15
5 + 15 = 4
重点来了！
计算 4 - 2 怎么算呢？
也就是 4 + （- 2）
4 ≡ 4（mod 16）
-2 ≡ 14（mod 16）
所以 4 + （- 2）= 4 + 14 = 2。
我们利用同余的性质，把减法成功转换成了加法，所以我们只需要在计算机里边将 -2 存成 14 就行了。我们这里减去 2 就等价于加上 14。
再比如 13 - 7 ，也就是 13 + （-7）
13 ≡ 13 （mod 16）
-7 ≡ 9（mod 16）
所有 13 + （- 7）= 13 + 9 = 6
我们成功把减 7 转换成了加上 9。
减 2 转换成加 14，减 7 转换成加 9，这几组数有什么联系呢？是的 2 + 14 = 16，7 + 9 = 16，他们相加通通等于 16，也就是我们取的模。有种互补的感觉，所以我们把 14 叫做 - 2 的补数，9 叫做 - 7 的补数。
可以看到，我们用一些正数表示了负数，总共有 16 个数，除去 0，还剩 15 个数，不可避免的是，这 16 个数，正数和负数的个数会相差 1，我们来看看是正数多，还是负数多。
上边的列出的数，应该都没异议吧，那么正数多还是负数多呢？就取决于 8 代表多少了。
8 + 1 = 9 ，9 代表 -7 ，而 - 8 + 1 = - 7，所以 8 其实代表 - 8 。
所以 0 到 15 这 16 个数字可以表示的范围是 -8 ~ 7，-8 没有对称的正数。
我们再来看看计算机里是怎么存的，我们都知道，计算机中是以二进制的方式存储的。假设我们计算机能存储 4 位。范围就是 0000 到 1111，也就是 0 到 15。
我们利用这个表格，求几个例子。
2 - 3 = 2 + （-3）= 2 的补数 + - 3 的补数 = 0010 + 1101 = 1111
而看表格， 1111 代表的数就是 -1 ，从而我们用加法计算出了 2 - 3 = - 1。
-3 - 2 = （-3）+（-2）= -3 的补数 + -2 的补数 = 1101 + 1110 = 1011
我们可以看到 1101 + 1110 本来等于 1 1011 ，因为只存储 4 位，所以最高位被丢掉了，其实这就进行了取模的操作，减去了 16 。如果我们看所对应的十进制是怎么操作的， 1101 表示 13，1110 表示 14 ，13 + 14 = 27 ，如果是模 16 操作下，就是 11 ，而 11 就是上边的结果 1011，看表格它代表的数是 - 5，- 3 - 2 = - 5 ，没毛病。
而且我们发现用这种表示方式，所有的正数首位都是 0 ，负数的首位都是 1 ，我们可以这样想。
假设正数和负数的首位相同，假如首位都是 0。
那么比如 a = 0010 这个正数，如果我们去找它的相反数 b，也就是对应的负数。由假设可以知道，它的相反数的最高位也是 0。即 0xxx 的形式。为了使得 a 和它的相反数相加等于 0，我们必须使得相反数 b 的第 3 位是 1，即 0x10，才能使得第 3 位的和是 0。但这样的话，第 3 位产生了进位， b 的第 2 位也得是 1，所以 b 就成了 0110，但这样虽然使得最后 3 位的和变成了 0，但是第 1 位我们假设了它是 0，由于第 2 位产生的进位，这样 a 和 b 相加不是 0 了，产生矛盾。所以假设不成立。所以正数和负数的首位一定不同，如果首位 0 代表正数，那么负数的首位一定是 1。
接下来的问题，给出一个数我们总不能查表去看它的补码吧，我们如何得出补码？
对于正数，看表格，我们直接写原码就可以了，例如 7 就是 0111 。
负数呢？
我们之前讨论过，对于模 16 的话，- 2 的补码是 14，也就是 16 - 2。- 7 的补码是 9，也就是 16 - 7 = 9。
我们从二进制的方式看一下。
我们来求 - 2 的补码，用 16 - 2 = 1 0000 - 0010 = ( 1111 + 1 ) - 0010 = ( 1111 - 0010 ) + 1 = 1101 + 1 = 1110 。
为什么转换成 1111 减去一个数，因为用 1111 减去一个数，虽然是减法，但其实只要把这个数按位求反即可。也就是把 2， 0010 按位求反变成 1101，再加上 1 就是 -2 的补码形式了，「按位取反，末位加 1 」这个口诀是不是很熟悉，哈哈，这就是快速求补码的法则。但我们不要忘了它的本质，其实是用模长减去它，但是计算机并不会减法，而是巧妙的转换到了取反再加 1 。
逆过程呢？如果我们知道了计算机存了个数 1110，那么它代表多少呢？首先首位是 1 ，它一定是一个负数，其次它是怎么得来的呢？往上翻，其实是用 16 - 2 =1110 得到的，我们现在是准备求 2 ，用 16 减去它就可以了，也就是 16 - 1110 = 1 0000 - 1110 = （1111 + 1）- 1110 = （1111 - 1110） + 1 = 0010。巧了，依旧是按位取反，末位加 1。而 0010 就是 2，所以 1110 就代表 - 2。
综上，其实我们就是用原来的一部分正数（其实说它是正数也无非是我们自己定义的，想起一句话，数学就像一门宗教，你要么完全相信，要么完全不信，哈哈）表示了负数，而现在为了实现减法，我们把 1xxx 的不当做正数了，把它定义为负数，是的没有负号，但开头是 1 ，我们就说它是负数，再取个名字就叫补数吧（其实就是它代表的负数离它最近的一个和它同余的数，例如 - 3，和它同余的最近的正数就是 13 了，所以 -3 的补数就是 13），再利用余数定理，以及计算机高位溢出等效于求模的性质，巧妙的用取反以及加法实现了减法。
再扩展一下，那么利用这个我们怎么不用乘法，来实现求相反数呢？
求 x 的相反数，我们用 0 减去 x 就行。也就是 x 的相反数 = 0 - x = 0 + ( - x ) = -x，-x 在计算机中怎么存的呢，存的是 -x 的补码，-x 的补码怎么求？把 x 按位取反，末位加 1 。Java 中就是 ~x + 1 了，此时所存的就是 x 对应的那个负数，即它的相反数了。
3 的相反数怎么求？这求什么求呀，添个负号就行了，-3 呀！但是计算机可没我们这么智能，它只存储 01，所以我们把 -3 的补码求出来存到计算机里就可以了。 即把 3 （0011） 按位取反，末位加 1，得到 1101 就是它的补码，我们然后把 1101 存到了计算机中，我们以为它是 13 ，但我们给计算机重新定义了规则，它是补码，首位就代表了它是负数，计算机根据规则（按位取反，末位加 1 ，再添个负号）把它又还原成了我们所理解的 - 3。从而我们不进行乘法，根据我们给计算机制定的规则，实现了求相反数。
