使用泰勒级数展开式计算正弦函数x是弧度Python e∧z展开为泰勒级数

zhutier每次高（数）考（试）都要因为记错泰勒展开扣分。
她决定在这周五的高考改掉这个毛病。
于是她来总结一些泰勒展开的记忆方法。

首先是它，对数函数幂级数展开

$e^x=\sum_{n=0}^\infty n!x^n$

记忆法1：
$f(x)=e^x$
$f(0)=1$
$e^x\sim 1+x$ $(x\rightarrow0)$
依次推导
$\therefore e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$
记住阶乘：泰勒展开的公式是有阶乘的，n阶导数通项不带阶乘的数展开都会有阶乘，而$e^x$怎么求导都是它本身，所以最后肯定是有阶乘的QAQ

记忆法2：
泰勒公式怎求导都是它本身【这个方法适合用于验证】
$e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$
所以我们来看看这个公式
确实也只有它满足怎么求导都是本身了。

记忆法3：
耍无赖法
$e$的中文名叫什么？自然对数！
$0,1,2,3,4,5,...,n,...$这些叫什么？自然数！
自然对数说：对，我们来数自然数
$\therefore e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$
$x$的上标是一次数数，从0开始数
分母不看阶乘符号是一次数数，从0开始数（热知识：$0!=1$）
每个分母又是一次数数，从0数到n（噢当然，阶乘除$0!$以外是从1开始的）

这玩意儿的拓展：
$a^x=e^{xlna}$
$e^x=1+xlna+\frac {x^2*{ln^2a}}{2!}+\frac{x^3*{ln^3a}}{3!}+...+\frac{x^n*{ln^na}}{n!}+...$

接着是它：

$sinx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

记忆法1：
$sinx\sim x$
这个函数的关键要素：
首先同$e^x$一样，$n$阶导再怎么导也不会出现阶乘
它是交错的
$sinx$是奇函数
分母是$1,3,5,7,9,...,2n+1,...$
分子也是$1,3,5,7,9,...,2n+1,...$
和$e^x$区别在多了交错和只有数奇数
为啥这么像，难道和欧拉公式有关吗
不知道，我瞎说的
然后顺带记住它的好兄弟$cosx$就是拿$sinx$求个导

最后是它

$ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}*x^{n+1}$

记忆法1：
直接麦克劳林展开好像也不戳。
$n$阶导数带阶乘，所以最终没有阶乘。

记忆法2：
靠，真的好难想方法记这玩意儿啊，这玩意儿变型还特别多
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...$这应该最简单，等比数列求和，注意收敛域
然后$ln(1+x)$直接求导
$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+...+x^{2n-1}-x^{2n}+...$
依旧是等比数列求和，拿这玩意儿积个分就可以得到$ln(1+x)$

然后是这玩意儿的一个拓展（直接带入就可）

$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n}x^{2n}$

还有这玩意的拓展的拓展，就是拿楼上积个分

$arctanx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$