今天学习的是递归函数时间复杂度的简单学习
从求x的n次方这道题的角度了解时间复杂度和递归函数
1.首先是求x的n次方的最一般解法 （for循环解法)
这种解法最容易想到
循环了n次 每次仅有一次运算 它的时间复杂度为O(n)
// 使用循环 时间复杂度
public static int function0(int x, int n){
int result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++){
result *= x;
}
return result;
}2.然后是求x的n次方的递归解法（递归解法)
使用递归法实现，它的时间复杂度又是多少呢？
该递归方法中 递归的次数 为n次 每次递归的操作1次
根据递归算法的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归中的操作次数
可得它的时间复杂度也是O(1)
/**
* 递归写法
* 递归算法的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归中的操作次数
* 时间复杂度 o(n) n 1
*/
public static int function1(int x, int n){
if (n <= 0){
return 0;
}
if (n == 1){
return x;
}
return function1(x, n-1) * x;
}总结：这次递归并没有使得算法的时间复杂度降低
3.那么换一种递归方法（第二种递归解法)
使用第二种递归解法
运用 二分法 将 n 次方 变成 两个 n / 2 次相乘
/**
* 优化递归算法
* 运用 二分法 将 n 次方 变成 两个 n / 2 次相乘 进行优化
*
* 时间复杂度依旧是 o(n)
*/
public static int function2(int x, int n){
if (n == 0){
return 0;
}
if (n == 1){
return x;
}
if (n % 2 == 1){
return function2(x, n / 2) * function2(x, n / 2) * n;
}
return function2(x, n / 2) * function2(x, n / 2);
}这种方法的时间复杂度仍为O(n)
具体看《代码随想录》中作者的解释
我们来分析一下，首先看递归了多少次呢，可以把递归抽象出一棵满二叉树。
可以用一棵满二叉树来表示（为了方便表示，选择n为偶数16）。
当前这棵二叉树就是求x的n次方，n为16的情况，n为16的时候，进行了多少次乘法运算呢？
这棵树上每一个节点就代表着一次递归并进行了一次相乘操作，所以进行了多少次递归的话，就是看这棵树上有多少个节点。
熟悉二叉树话应该知道如何求满二叉树节点数量，这棵满二叉树的节点数量就是`2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15`，可以发现：**这其实是等比数列的求和公式，这个结论在二叉树相关的面试题里也经常出现**。
这么如果是求x的n次方，这个递归树有多少个节点呢，如下图所示：(m为深度，从0开始)
时间复杂度忽略掉常数项-1之后，这个递归算法的时间复杂度依然是O(n)。
4.优化上一个递归方法（第二种递归解法优化)
仅仅将function3(x, n / 2)抽取出来，减少递归中操作的次数
就可以真正意义上的降低时间复杂度
该方法的时间复杂度就是O(logn)
/**
* 再优化递归函数
* 每次递归仅有一个递归调用
* 递归算法的时间复杂度 = 递归的次数(也就是二叉树的深度) * 每次递归中的操作次数
* o(logn) logn 1
*
*/
public static int function3(int x, int n){
if (n == 0){
return 0;
}
if (n == 1){
return x;
}
int t = function3(x, n / 2);
if (n % 2 == 1){
return t * t * n;
}
return t * t;
}根据以上不断优化的四种不同情况，同一程序的时间复杂度只在最后一次才达到理想中的O(logn),这也给了我们优化算法的集中不同思路与启示，并不仅仅是优化了方法就一定会降低代码的时间复杂度，更多的还需要考虑程序运行的真实情况等等
