大数取余python 大数取余数

1. 大数越界问题概述

大数越界：在程序运算的过程中，变量可能超出 int32 甚至 int64 的取值范围。

解决方法：

1. 循环取余。
2. 快速幂取余
3. 二分取余

1.1 循环取余

循环取余是最为简单的一种。就是在每次操作时，就对边界进行取余操作，确保结果res，是在边界内的。

把指数操作转换成一次次的乘法，每次相乘就取以此余数，使得数值不超过范围

例如：

 

1.2 快速幂取余

示例

剑指 offer 16 数值的整数次方（快速幂法），这片里面讲到了如何使用快速幂。

1.2.1 例子代码

int b = n % 3, p = 1000000007;
        long rem = 1, x = 3;
        for(int a = n / 3 - 1; a > 0; a /= 2) {
            if(a % 2 == 1) rem = (rem * x) % p;
            x = (x * x) % p;
        }

计算a^n % b，其中a，b和n都是32位的整数。例如 2^31 % 3 = 2，例如 100^1000 % 1000 = 0

用快速幂的方法时间复杂度可以达到O(logn)

快速幂思想：x^2 = x * x；x^4 = x^2 * x2；x8 = x^4 * x^4……

快速幂代码

public static int fastPow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    int base = a;
    while(b != 0) {
        if ((b & 1) != 0) {
            ans = ans * base;
        }
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

然而这里不是简单的快速幂，还要取模.其实也挺简单，先把计算过程中的变量 ans 和 base 的数据类型改成 long ，防止数值越界，然后就是在计算乘法的时候，再加一步取模

public static int fastPow(int a, int b. int n) {
    if (n == 0) { // 规定模 0 是什么
        return 1 % b;
    }
    long ans = 1;
    long base = a;
    while(b != 0) {
        if ((b & 1) != 0) {
            ans = (ans * base) % n;
        }
        base = (base % n) * (base % n);
        b >>= 1;
    }
    return (int)ans;
}

2、%1e9+7和%1000000007的区别

很多力扣题目因为数字过大，要求答案对1000000007（1e9+7）取模，但对1e9+7取模后得到的是浮点型，有时会导致返回值无法类型转换。这时直接对1000000007取模得到int型数据即可。

3、取模公式

（ a * b ) % c = [ ( a % c ) * ( b % c ) ] % c

取模运算有这样一个性质：(a+b)%c = ((a%c)+(b%c))%c
所以(pre3+pre2)%1000000007就相当于(pre3%X+pre2%X)%X
用X代替1000000007这样就使得pre3、pre2、pre3+pre2都没有溢出，之后再与pre1相加之后取模，使得全部结果没有溢出

4、为什么会对1e9+7取余？

有时候结果比较大的时候，会对结果进行mod 1e9+7操作。为什么呢？
第一：
1e9+7是一个很大的数，int32位的最大值为2147483647，所以对于int32位来说1000000007足够大。int64位的最大值为2^63-1，对于1000000007来说它的平方不会在int64中溢出所以在大数相乘的时候，因为(a∗b)%c=((a%c)∗(b%c))%c，所以相乘时两边都对1000000007取模，再保存在int64里面不会溢出 ，否则两个非常大的数在ab阶段就溢出了。有点于归一化的意思。
当一个问题只对答案的正确性有要求，而不在乎答案的数值，可能会需要将取值很大的数通过求余变小。
第二：
其次，1e9+7是一个质数，在模素数p的情况下an（a非p的倍数）的循环节长为p,这是减少冲突的一个原因。另一方面模素数p的环是无零因子环,也就是说两个非p倍数的数相乘再模p不会是零（如果是0的话,在多个数连乘的情况下会大大增加冲突概率）。比如说如果所有的结果都是偶数…你模6就只可能出现0, 2, 4这三种情况…但模5还是可以出现2, 4, 1, 3这四(4=5-1)种情况的… hash表如果是用取模的方法也要模一个大质数来减少冲突，出题人也会这样来 希望减少你“蒙对“的概率。