机器学习论文里的损失图是怎么画的 损失程度模型

文章目录

• 一、分类问题

• 1. 0-1损失函数(zero-one loss)
• 2. Hinge 损失函数
• 3. log对数损失函数
• 4. Logistic损失
• 5. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)

• 二、回归问题

• 1. 平均绝对误差(MAE)
• 2. 平均绝对百分误差MAPE
• 3. 均方误差(MSE)
• 4. Huber损失

• 三、常见问题

• 1. 交叉熵函数与最大似然函数的联系和区别？
• 2. 在用sigmoid作为激活函数的时候，为什么要用交叉熵损失函数，而不用均方误差损失函数？

损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。

损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。

一、分类问题

1. 0-1损失函数(zero-one loss)

0-1损失是指预测值和目标值不相等为1， 否则为0:
$L(Y, f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1, Y \neq f(X) \\ 0, Y=f(X) \end{array}\right.$
特点：

1. 0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用.
2. 感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足 $|Y-f(x)|<T$时认为相等，
   $L(Y, f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1,|Y-f(X)| \geq T \\ 0,|Y=f(X)|<T \end{array}\right.$

2. Hinge 损失函数

Hinge损失函数标准形式如下：
$L(y, f(x))=\max (0,1-y f(x))$
特点：

1. hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为$1-y f(x)$
2. 一般的$f(x)$是预测值，在-1到1之间， $y$是目标值(-1或1)。其含义是，$f(x)$的值在-1和+1之间就可以了，并不鼓励$|f(x)|>1$
3. 健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。

3. log对数损失函数

log对数损失函数的标准形式如下：
$L(Y, P(Y \mid X))=-\log P(Y \mid X)$
特点：

1. log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。
2. 健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。
3. 逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

4. Logistic损失

Logistic损失标准形式如下：
$L(y, f(x))=\log_2 (1+e^{-yf(x)})$
特点：

1. 该函数处处光滑，可使用梯度下降法优化
2. 但该函数对所有样本点都有惩罚，因此对异常值相对敏感。

5. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)

交叉熵损失函数的标准形式如下:
$L(y, f(x))=-\frac{1}{n} \sum_{x}[y \ln f(x)+(1-y) \ln (1-f(x))]$
特点：

1. 本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。对数损失函数和交叉熵损失函数应该是等价的。
   二分类问题中的loss函数如上（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）
   多分类问题中的loss函数如下（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：
   $\text { loss }=-\frac{1}{n} \sum_{i} y_{i} \ln a_{i}$
2. 当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。

二、回归问题

1. 平均绝对误差(MAE)

绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：
$MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|Y_i-f(x_i)|$
特点：

1. 绝对值损失相当于做中值回归，相比MSE对异常点更鲁棒一些。
2. 但在$f=y$处无法求导

2. 平均绝对百分误差MAPE

$MAPE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|\frac{(Y_i-f(x_i))}{Y_i}|$
特点：

1. MAPE存在不可微点。
2. 当实际值为零时，MAPE会采用未定义的值，此外，当实际值非常接近零时，它将采用极值。
3. MAPE是不对称的，它对负误差（当预测值高于实际值时）要比对正误差施加更大的罚款。解释如下：对于过低的预测，百分比误差不能超过100％。虽然没有太高的预测上限。因此，MAPE将偏向于预测不足而不是过度预测的模型。

3. 均方误差(MSE)

平方损失函数标准形式如下：
$MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i-f(x_i))^{2}$
特点：

1. 最常用的回归损失函数，函数光滑，可以使用梯度下降法优化，
2. 缺点是异常点敏感，预测值与真实值越远惩罚越大。

4. Huber损失

Huber损失标准形式如下：
$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &(Y-f(X))^{2}, &|Y-f(X)| \leq\delta\\ &2\delta|Y-f(X)|-\delta^2, &|Y-f(X)| > \delta \end{aligned} \right.$
特点：

1. 兼具平方损失的处处可导性，绝对值损失的异常点鲁棒性。

三、常见问题

1. 交叉熵函数与最大似然函数的联系和区别？

区别：交叉熵函数使用来描述模型预测值和真实值的差距大小，越大代表越不相近；似然函数的本质就是衡量在某个参数下，整体的估计和真实的情况一样的概率，越大代表越相近。

联系：交叉熵函数可以由最大似然函数在伯努利分布的条件下推导出来，或者说最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化。

2. 在用sigmoid作为激活函数的时候，为什么要用交叉熵损失函数，而不用均方误差损失函数？

分析一下两个误差函数的参数更新过程就会发现原因了。
对于均方误差损失函数，更新参数 $w$ 和 $b$ ：
$\begin{gathered} w=w-\eta \frac{\partial Loss}{\partial w}=w-\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z) x \\ b=b-\eta \frac{\partial Loss}{\partial b}=b-\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z) \end{gathered}$
其中$z=wx+b$,因为sigmoid的性质，导致$\sigma^{\prime}(z)$在$z$取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几乎接近于平坦），这样会使得$\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z)$很小，导致参数$w$和$b$更新非常慢。

对于交叉熵损失函数,参数更新公式为:
$\begin{gathered} w=w-\eta \frac{\partial Loss}{\partial w}=w-\eta(f(x)-y) x \\ b=b-\eta \frac{\partial Loss}{\partial b}=b-\eta(f(x)-y) \end{gathered}$
可以看到参数更新公式中没有$\sigma^{\prime}(z)$这一项，权重的更新受$(f(x)-y)$影响，受到误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新快；当误差小的时候，权重更新慢。这是一个很好的性质。
所以当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数。