力扣62-不同路径

一、原题题目

1.1 题目

  一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 Start ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 Finish ）。问总共有多少条不同的路径？



java 数学公式转latex_动态规划


1.2 示例

  • 示例1：
    输入： m = 3, n = 7输出： 28
  • 示例2：
    输入： m = 3, n = 2输出： 3解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
    1.向右 -> 向右 -> 向下
    2.向右 -> 向下 -> 向右
    3.向下 -> 向右 -> 向右
  • 示例3：
    输入： m = 7, n = 3输出： 28
  • 示例4：
    输入： m = 3, n = 3输出： 6

提示：

  • 1 <= m, n <=100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths

二、解题思路

2.1 递归思路解题

  • 解题思路

递归的题。定义状态 count(m,n) 表示当矩形是 m x n网格时从左上到右下的路径数，由于每次只可以往下走和往右走，故 count(m,n) = count(m,n-1) + count(m-1,n) 此时的行数和列数都要大于 1 ，当 m == 1 或 n == 1 时 count(m,n) = 1 是我们的递归出口。

  • 详细代码（Java）
public class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m == 1||n==1)   return 1;			// 递归出口
        else return uniquePaths(m-1,n)+uniquePaths(m,n-1);		// 递归
    }
}
  • 代码执行结果


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自顶向下的递归解题

2.1 动态规划思路解题

  • 解题思路

自底向上的计算结果，并将结果保留在如下二维数组 result 中，当所处的位置和终点位于同一行或同一列时，就只能直接沿直线走到终点，所以这些位置都是 1 种路径，如图的绿色位置，由于每次走都只能往下或右走，故当前位置的路径数取决于下面位置与右边位置的路径之和，即 result[i][j] = result[i+1][j] + result[i][j+1] 并且我们的填表顺序也有要求，必须是当前位置下方和右方的都已经填好，才能填当前位置。我们可以按照下图中细箭头的方向向上填表，同时沿着粗箭头向左填表，填完表后返回 result[0][0] 即为最终结果。



java 数学公式转latex_算法_03


  • 详细代码（Java）
public class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] result = new int[m][n];                 // 定义结果表
        for (int i = 0;i<n;i++) result[m-1][i] = 1;     // 初始化最后一行为1
        for (int i = 0;i<m;i++) result[i][n-1] = 1;     // 初始化最后一列为1
        for (int i = n-2;i>=0;i--){             // 列从右往左填
            for (int j = m-2;j>=0;j--){         // 行从下往上填
                result[j][i] = result[j+1][i]+result[j][i+1];   // 当前位置等于下面和右边之和
            }
        }
        return result[0][0];        // 返回起点结果
    }
}
  • 代码执行结果


java 数学公式转latex_算法_04


  时间上完胜，空间效果也不错，做完后也去看看了题解，一方面看看自己思考的结论对不对（主要看上面的方法是不是递归和动态规划，其实有的时候还傻傻的分不太清）另一方面就是看看有没有改进的地方，看到空间上还有提升的空间，主要是我们刚刚定义的结果二维数组并不是都有用的在计算结果的时候只需要保留部分就好，这里我实在是懒得再去优化了，不是很难，想尝试的朋友可以写写看。

2.3 数学公式思路解题

  • 解题思路

  其次看到还有一种解题思路是通过数学公式的方法，这里也只简单介绍一下：我们要想到达终点，需要往下走n-1步，往右走m-1步，总共需要走n+m-2步。他无论往右走还是往下走他的总的步数是不会变的。也就相当于总共要走n+m-2步，往右走m-1步总共有多少种走法，很明显这就是一个排列组合问题，公式如下

java 数学公式转latex_算法_05

java 数学公式转latex_算法_06

  • 详细代码（Java）
public int uniquePaths(int m, int n) {
    int N = n + m - 2;
    double res = 1;
    for (int i = 1; i < m; i++)
        res = res * (N - (m - 1) + i) / i;
    return (int) res;
}
  • 代码执行结果


java 数学公式转latex_动态规划_07


三、总结

  这里推荐着重理解动态规划和递归的解题思路，虽然这个题的递归超时了，但很多题目里递归也是一种很好的解题思路。