ios 矩阵分发 分块矩阵

第三章，矩阵，04-分块矩阵

• 定义
• 运算

• 加法
• 数乘
• 转置
• 乘法

• 分块对角阵

• 分块对角阵乘法
• 分块对角阵行列式

• 按行列分块

• 行向量
• 列向量
• 行列向量表示的矩阵乘法

• 例

• 线性方程组分块表示

玩转线性代数(16)分块矩阵的笔记

定义

用一些纵、横线将矩阵A分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵，各个小矩阵称为A的子块

运算

对分块矩阵进行运算时，可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理，但应保证矩阵运算的可行性。

加法

设矩阵A、B是两个同型矩阵，且分块方法一致，才能相加
$A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1r}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2r}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{sr}\\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}\\ \end{pmatrix}$
其中每一$A_{ij}$与$B_{ij}$的维数都对应相同，则规定加法为
$A+B=\begin{pmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} & \cdots & A_{1r}+B_{1r}\\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} & \cdots & A_{2r}+B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{s1}+B_{s1} & A_{s2}+B_{s2} & \cdots & A_{sr}+B_{sr}\\ \end{pmatrix},$

数乘

乘以常数$\lambda$
$\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda A_{11} & \lambda A_{12} & \cdots & \lambda A_{1r}\\ \lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2r}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \lambda A_{s1} & \lambda A_{s2} & \cdots & \lambda A_{sr}\\ \end{pmatrix}$

转置

子块行列互换的基础上还要对子块本身进行转置。
$A^T=\begin{pmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T & \cdots & A_{s1}^T\\ A_{12}^T & A_{22} & \cdots & A_{s2}^T\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{1r}^T & A_{2r}^T & \cdots & A_{sr}^T\\ \end{pmatrix}$

乘法

设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若将A分为r×s个子块$(A_{kj})_{r×s}$，将B分为s×t个子块$(B_{kj})_{s×t}$，且A的列与B的行分块法一致，则规定A与B的乘法为：
$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{r1} & A_{r2} & \cdots & A_{rs}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1t}\\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2t}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{st}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1t}\\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2t}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ C_{r1} & C_{r2} & \cdots & C_{rt}\\ \end{pmatrix}$
其中$C_{ij}=\sum_{i=1}^s A_{ik}B_{kj}，(i=1,2,...,r;j=1,2,...,t)$
满足三点：

1. 外能乘：在分块之前满足矩阵的乘法;
2. 块能乘：即前矩阵分块后的行块数与后矩阵分块后列块数一致;
3. 内能乘：每两个小块的乘法要满足矩阵的乘法。

分块对角阵

设A是r阶矩阵，若A的一个分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，即$A=\begin{pmatrix} A_{1} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & A_{2} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & A_{s-1} & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & A_{s}\\ \end{pmatrix}$，
其中$A_i$是$r_i$阶小方阵，i=1,2,…,s,
$\sum_{i=1}^sr_i=n$，而其余非主对角子块都为零矩阵，那么称A为分块对角矩阵。

分块对角阵乘法

设有两个分块对角阵：
$A=\begin{pmatrix} A_1 & & & 0\\ & A_2& & \\ & &\ddots & \\ 0 & & & A_k\\ \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} B_1 & & & 0\\ & B_2& & \\ & &\ddots & \\ 0 & & & B_k\\ \end{pmatrix}$,
其中矩阵$A_i$与$B_i$都是$n_i$阶方阵，因此$A_i$与$B_i$可以相乘，用分块矩阵乘法可得：
$AB=\begin{pmatrix} A_1B_1 & & & 0\\ & A_2B_2& & \\ & &\ddots & \\ 0 & & & A_kB_k\\ \end{pmatrix}$
即对应主对角线子块相乘即可。

分块对角阵行列式

根据拉普拉斯公式和递推法：
$|A|=\begin{vmatrix} A_1 & & & 0\\ & A_2& & \\ & &\ddots & \\ 0 & & & A_k\\ \end{vmatrix}=|A_1||A_2|...|A_k|$

按行列分块

矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$

行向量

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}=(a_1,a_2,...,a_n)$

列向量

$A=\begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots\\ \alpha_m^T \\ \end{pmatrix}$
其中:
$\alpha_i=\begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots\\ a_{in} \\ \end{pmatrix},\alpha_i^T=\begin{pmatrix}a_{i1} & a_{i2}&\cdots & a_{in}\end{pmatrix}$

行列向量表示的矩阵乘法

$A=(a_{ij})_{m×s},B=(b_{ij})_{s×n}$，则A与B的乘积$C=(c_{ij})_{m×n}$,把A按行、B按列分块后有：
$AB=\begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots\\ \alpha_m^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_{1} & b_{2}&\cdots & b_{n}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha_1^T b_1 & \alpha_1^T b_2 & \cdots & \alpha_1^T b_n\\ \alpha_2^T b_1 & \alpha_2^T b_2 & \cdots & \alpha_2^T b_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_m^T b_1 & \alpha_m^T b_2 & \cdots & \alpha_m^T b_n \end{pmatrix}$

例

设$A^TA=0$，证明A=0.
证明：设$A=(a_{ij})_{m×n}$,把A按列分块有$A=(a_1,a_2,...,a_n)$，则
$A^TA=\begin{pmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots\\ a_m^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{1} & a_{2}&\cdots & a_{n}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1^T a_1 & a_1^T a_2 & \cdots & a_1^T a_n\\ a_2^T a_1 & a_2^T a_2 & \cdots & a_2^T a_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_m^T a_1 & a_m^T a_2 & \cdots & a_n^T a_n \end{pmatrix}$
即$A^TA$的(i,j)元为$a_i^Ta_j$，因$A^TA=0$,故$a_i^Ta_j=0(i,j=1,2,...,n)$,特殊地，有$a_i^Ta_i=0(i=1,2,...,n)$
而
$a_j^Ta_j=0=(a_{1j},a_{2j},...,a_{mj}) \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}=a_{1j}^2+a_{2j}^2+...+a_{mj}^2$
由$a_{1j}^2+a_{2j}^2+...+a_{mj}^2=0$,得
$a_{1j}=a_{2j}=...=a_{mj}=0,(j=1,2,...,n)$,
即A=0

线性方程组分块表示

将线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+ a_{12}x_2 + a_{1n}x_n =b_1\\ a_{21}x_1+ a_{22}x_2 + a_{2n}x_n =b_2\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+ a_{m2}x_2 + a_{mn}x_n =b_m\\ \end{cases}$
简记为$AX=b$
其中$A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$
列分块
$(a_1,a_2,...,a_n)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=b$
即$x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n=b$
行分块
$\begin{cases} a_1^Tx =b_1\\ a_2^Tx =b_2\\ \cdots\\ a_m^Tx =b_m\\ \end{cases}$