模糊集合原理
在计算机编程的时候,常常会使用一种“干脆的”集合。在判断某件事,或者某个变量的时候,常常使用的是布尔值(因为某件事,不是真就是假)。通过一个阈值,去判断这件事,而这样的一个阈值的设定,会产生一个问题。还是使用《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods书中的例子,看以下两个图。
当一个人的年龄超过20岁,那么这个人就不再属于年轻人范畴。这样来说,未免有些太过“残忍”,毕竟,20多岁的人还是“比较”年轻的。这里就出现了一个模糊的定义,“比较”年轻,这个集合既不属于年轻,也不属于非年轻,也就是其实年轻与非年轻之间的过度不应该是干脆的,而应该是渐进的过度。
定义Z为对象集,其中,z表示Z中的一类元素(比如z表示年龄)。Z中的一个模糊集合A主要由一个隶属度(Degree of membership)
来表示。对此,模糊集合A是一个由z值和隶属度函数组成的集合,即
当
的时候,所有的z是模糊集合A的完全成员;当
的时候,所有的z都不是模糊集合A的成员,当
的值介于0和1之间,那么此时的z称为模糊集合A的不完全成员。
下面,还有几个重要的性质。
对于所有的
,模糊集合A的补集(NOT),其隶属度函数如下所示。
对于所有的
,模糊集合A与模糊集合B的并集(OR)U,其隶属度函数如下所示。
对于所有的
,模糊集合A与模糊集合B的交集(AND)I,其隶属度函数如下所示。
到这里,其实已经可以用模糊集合来做一些事情了。对于一个问题的处理,在使用模糊集合来解决的时候,我们可以参考以下步骤。首先,需要将输入量折算为隶属度,这个过程叫做“模糊化”。然后,使用得到的隶属度来进行计算,或者判断,或者其他更复杂的算法。最后,需要将隶属度再次折算为输出,这个过程称为“去模糊”或者“反模糊”。
模糊集合为处理不严密信息提供了一种形式。将模糊与模糊隶属度函数之间的关联变量称为fuzification;通常用IF-THEN规则描述有关问题的知识。下面我们寻找一种方法,使用输入和问题的先验知识建立模糊系统的输出。
通常应用实现步骤为:
(1)模糊输入:将IF-THEN规则描述的先验知识映射到[0,1]区间,找到每个标量对应的模糊值。
(2)执行任何需要的模糊逻辑操作(AND、OR、NOT),将所有输出组合到一起;利用一种推断方法,每个规则得到单一输出。
(3)应用聚合方法将所有规则的输出组合到一起,得到单个的输出模糊集合。
(4)对最后的输出去模糊化,得到“干脆”标量输出。(可以求模糊集的重心)
一、使用模糊集合进行灰度变换
使用模糊集合来进行灰度变换,从而增强图像。首先可以在常理下考虑一下,一般的对于动态范围较小的图像,我们一般的处理的方法是灰度拉升,或者直方图均衡。
这两种的方法的本质就是,让原图较暗的像素更加暗,让原图较亮的像素更加亮。那么,我们规定如下模糊规则
R1:IF 一个像素是暗的,THEN 让这个像素更暗;
R2:IF 一个像素是灰的,THEN 让他保持是灰的;
R3:IF 一个像素是亮的,THEN 让这个像素更亮;
这个规则就代表了我们的处理方法。当然,IF条件中的像素是暗的(或者灰的,或者是亮的),这个概念都是模糊的。同理THEN结论中的更暗(或者保持灰的,或者更亮)亦是模糊的。为此,我们需要确立一个隶属度函数,从而来判断一个像素对于三个条件的隶属度。
暗的(模糊),那么其隶属度函数大致的形状是,
- 在低于某个值的时候域隶属度为1,
- 在灰度越过某一个值之后,其隶属度为0,
- 当然。然后与之间进行线性插值,那么,我们就可以得到R1的隶属度函数了。同理,R2与R3也是一样的。
为了简单起见,我们将THEN结论中的更暗设置为较为简单的函数。
- 为了让这个像素更黑,其输出都为0。同理,
- 为了使这个像素保持灰的,我们将其输出设为0.5,
- 为了使得一个像素更亮,我们将其设置为1。
根据以上讨论,我们所决定的隶属度函数如下所示。
使用输入的隶属度函数,可以得到模糊化后的数据。
像素
,需要根据规则
R1,R2
与
R3
,计算出
所对应的隶属度
,
与
,这个过程,称之为
模糊化
。将一个输入量模糊化,所使用的函数(或者说是对应关系),称之为知识库。
模糊化之后,得到一个像素所对应的三个隶属度
,
与
之后,就可以进行反模糊化了。反模糊化的算法很多,这里使用简单的重心法去进行计算。
其中Vd,Vg,Vb为输出的单一值,对于一个像素
,需要根据规则R1,R2与R3,计算出
所对应的隶属度
,
与
。得到一个权值衡量后的成熟度估计值,最为输出值。到此,就得到了输出
,整个算法的效果如下图所示。
实例:
根据以上算法,所得到的结果还是比较理想的。从灰度直方图来看,处理后的图像的直方图的动态范围得到了扩展,所得的图像也比原图更加的明亮清晰,图片的一些细节处理的较为妥当。所使用的Matlab代码如下所示。
function [drak,gray,brig] = Fuzzy_Knowledge(Intensity)
if(Intensity <= 0.27) drak = double(1);
elseif(Intensity >= 0.5) drak = double(0);
else drak = (0.5 - double(Intensity))/(0.22);
end
if(Intensity >= 0.72) brig = double(1);
elseif(Intensity <= 0.5) brig = double(0);
else brig = double((double(Intensity) - 0.5)/0.22);
end
if(Intensity >= 0.72) gray = double(0);
elseif(Intensity <= 0.27) gray = double(0);
elseif(Intensity <= 0.5) gray = double((double(Intensity) - 0.27)/0.22);
else gray = double((0.72 - double(Intensity))/0.22);
end
end
close all;
clear all;
clc;
%% ---------Using Fuzzy for intensity transfromations---------------
f = imread('einstein_orig.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);
[M,N]=size(f);
g = zeros (M,N);
for x = 1:1:M
for y = 1:1:N
[drak,gray,brig] = Fuzzy_Knowledge(f(x,y));
g(x,y) = ((drak * 0) + (gray * 0.5) + (brig * 1))/(drak + gray + brig);
end
end
figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');
subplot(1,2,2);
imshow(g,[0 1]);
xlabel('b).Result of fuzzy');
figure();
subplot(1,2,1);
h = imhist(f)/(M*N);
bar(0:1/255:1,h);
axis([0 1 0 .2]),grid;
xlabel('c).The Histogram of a');
subplot(1,2,2);
h = imhist(g)/(M*N);
bar(0:1/255:1,h);
axis([0 1 0 .2]),grid;
xlabel('d).The Histogram of b');
%%
test = 0:1/255:1;
for x = 1:1:256
[drak(x),gray(x),brig(x)] = Fuzzy_Knowledge(test(x));
end
figure();
subplot(1,2,1);
plot(test,drak,test,gray,test,brig);
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
legend('drak','gray','brig');
xlabel('a).Input memberchip functions for fuzzy');
subplot(1,2,2);
x1 = [0,0];y1 = [0,1];
x2 = [0.5,0.5];y2 = [0,1];
x3 = [1,1];y3 = [0,1];
plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3);
axis([-0.1,1.1,0,1.2]),grid;
axis square;
legend('drak','gray','brig');
xlabel('b).Output memberchip functions for fuzzy');
将隶属度函数重叠起来看,理解的重点:
关键就在这里,自定义了一个标准,这就是精髓。
模糊集图像增强算法有很多。归纳主要为以下步骤:
- 第一步、设计隶属度函数将图像从空间域变换到模糊集域。
- 第二步、设计模糊增强算子,在模糊集域对图像进行处理。
- 第三步、根据第一步的隶属度函数重新将图像从模糊集域变换到空间域。
在此根据[1]所述的隶属度函数和模糊增强算子,进行图像增强实现,代码如下所示:
clear all;
close all;
clc;
I = double(imread('test.jpg'));
imshow(I);
[m,n] = size(I);
Fe =1;
Fd =120;
xmax=max(max(I));
u =(1+(xmax-I)/Fd).^(-Fe);
for i =1:m
for j =1:n
if u(i,j)<0.5
u(i,j) =2*u(i,j)^2;
else
u(i,j) =1-2*(1-u(i,j))^2;
end
end
end
I = xmax-Fd.*(u.^(-1/Fe)-1);
figure,imshow(uint8(I));
实验结果:
原始图像: 模糊集图像增强实现效果图
二、使用模糊集合进行边缘检测
为了更深刻的理解模糊集合的性质,可以将规则的难度加深一些。若想进行一幅图像的边缘检测,在空间域上的想法是:“如果一个像素是处在平滑区域的,那么使得这个像素为亮,否则,则使得这个像素为暗。”为了使得这个算法在模糊集合的概念可以用,我们可以考虑使用灰度差来表示像素的平滑程度。
如上图所示,我们将一个像素8个相邻的像素,各减去这个像素的值,即
。我们可以得到如上图右侧的结果。基与此,可以推出以下规则。
注意,上述的zero,white与black都是模糊的概念。同样的,根据这三个规则模糊化之后,用重心法去模糊。同时,我们还希望,当两个点的灰度很接近的时候,去模糊能给予一个很强的响应,将灰度拉至很高(很亮)。所以,我们的输入隶属度函数需要再0处有一个较大的隶属度,这里,我使用了高斯分布的一部分。其输出隶属度函数,也不是像上面的例子一样简单,我希望若是白色的隶属度很高,其输出的灰度值就越高(越亮),反之则越低(越暗)。根据上述,我指定的输入输出隶属度函数如下所示。
以上规则还出现了几个比较需要注意的地方。我们制定规则的时候,使用了AND,将两个条件相连了。这里在模糊集合里面,就相当于两个模糊集合的交集。首先,应该依次算出两个条件所对应的隶属度的值,然后,取最小值即可,如下所示。
其次,这里还出现了ELSE语句,这里,可以视为以上四个条件的补集的交集(有点拗口)。其实看数学式的话,应该很好明白的。
到这里,我们就可以顺利的算出上述五个条件的隶属度,然后同样的,使用最简单的重心法,就可以得到结果了。结果如下所示。
从结果可以看出来,根据整定的规则,我们已经很好的得到了图像的边缘。在这幅图像上再次进行加工,二值化什么的,就比较容易了。所得到的结果图像还是比较清晰的。以下是Matlab代码。
function [W1,W2,W3,W4,B] = Fuzzy_Knowledge_Filters(Intensity)
for x = 1:1:3
for y = 1:1:3
if((Intensity(x,y) <= 0.2) &&(Intensity(x,y) >= -0.2))
Intensity(x,y) = exp(-20*Intensity(x,y).*Intensity(x,y));
else Intensity(x,y) = 0;
end
end
end
W1 = min(Intensity(1,2),Intensity(2,3));
W2 = min(Intensity(2,3),Intensity(3,2));
W3 = min(Intensity(3,2),Intensity(2,1));
W4 = min(Intensity(2,1),Intensity(1,2));
B = min(min(1-W1,1-W2),min(1-W3,1-W4));
end
%% ---------Using Fuzzy for Spatial Filters---------------
close all;
clear all;
clc;
f = imread('headCT_Vandy.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);
[M,N]=size(f);
f_Ex = zeros(M+2,N+2);
for x = 1:1:M
for y = 1:1:N
f_Ex(x+1,y+1) = f(x,y);
end
end
z = zeros (3,3);
g = zeros (M+2,N+2);
for x = 2:1:M+1
for y = 2:1:N+1
z(1,1) = f_Ex(x-1,y-1) - f_Ex(x,y);
z(1,2) = f_Ex(x-1,y) - f_Ex(x,y);
z(1,3) = f_Ex(x-1,y+1) - f_Ex(x,y);
z(2,1) = f_Ex(x,y-1) - f_Ex(x,y);
z(2,2) = f_Ex(x,y) - f_Ex(x,y);
z(2,3) = f_Ex(x,y+1) - f_Ex(x,y);
z(3,1) = f_Ex(x+1,y-1) - f_Ex(x,y);
z(3,2) = f_Ex(x+1,y) - f_Ex(x,y);
z(3,3) = f_Ex(x+1,y+1) - f_Ex(x,y);
[W1,W2,W3,W4,B] = Fuzzy_Knowledge_Filters(z);
V1 = 0.8 * W1 + 0.2;
V2 = 0.8 * W2 + 0.2;
V3 = 0.8 * W3 + 0.2;
V4 = 0.8 * W4 + 0.2;
V5 = 0.8 - (0.8 * B);
g(x,y) = ((W1*V1) + (W2*V2) + (W3*V3) + (W4*V4) + (B*V5))/(W1+W2+W3+W4+B);
end
end
figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');
subplot(1,2,2);
imshow(g,[0 1]);
xlabel('b).Result of fuzzy');
%%
figure();
subplot(1,2,1);
x=-0.2:1/255:0.2;
y=1/sqrt(2*pi)*exp(-20*x.*x);
y = y/max(y);
x = -1:1/255:1;
y = [zeros(1,204) y zeros(1,204)];
plot(x,y);
axis([-1,1,0,1]),grid;
axis square;
xlabel('a).Input memberchip functions for fuzzy');
subplot(1,2,2);
x1 = [0,0.2,1];y1 = [0,0,1];
x2 = [0,0.8,1];y2 = [1,0,0];
plot(x1,y1,x2,y2);
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
legend('WH','BL');
xlabel('b).Output memberchip functions for fuzzy');