信号奇异值分解去噪python

 

作业题目

目 录
Contents

参考答案

信号奇偶分解

奇偶分解反问题

信号自变量变化

从系统框图到方程

LTI系统响应

系统的可逆性

系统特性

串联系统

  封面动图来自于： SHUTTERSTOCK网站

 

§00 作业题目

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作业要求链接： 信号与系统 2022 春季学期第二次作业 :

 

§01 参考答案

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1.1 信号奇偶分解

（1）第一小题

求解

• 偶分量：

▲ 图1.1.1 信号的偶分量

• 奇分量：

▲ 图 信号的奇分量

（2）第二小题

求解：

• 偶分量：

▲ 图1.1.3 信号的偶分量

• 奇分量：

▲ 图1.1.4 信号的奇分量

（3）第三小题

求解：

• 偶分量：



• ▲ 图1.1.5 信号的偶分量
• 
  
• 奇分量：

▲ 图1.1.6 信号的奇分量

（4）第四小题

求解：

• 偶分量：

▲ 图1.1.7 信号的偶分量

• 奇分量：
  ▲ 图1.1.8 信号的奇分量

1.2 奇偶分解反问题

1.2.1 必做题

求解： 根据 $x\left( {t + 1} \right) \cdot u\left( { - t - 1} \right)$ 的波形，往左平移1，获得 $x\left( t \right) \cdot u\left( { - t} \right)$

▲ 图1.2.1 获得信号左边边的波形

$x_o \left( t \right)$ 左边（ $t < 0$

$\left[ {x\left( t \right) - x_o \left( t \right)} \right] \cdot u\left( t \right) = x_e \left( t \right) \cdot u\left( t \right)$

▲ 图1.2.2 波形偶分量的 左边波形

  根据偶分量是关于y轴左右对称，所以可以绘制出信号的偶分量：

▲ 图1.2.3 信号的偶分量

  将信号的偶分量与奇分量叠加，可以获得信号的波形，如下：

▲ 图1.2.4 信号本身波形

1.3 信号自变量变化

（1）第一小题

求解：

（2）第二小题

求解：

（3）第三小题

求解：

（4）第四小题

求解：

（5）第五小题

求解：

（6）第六小题

求解：

（7）第七小题

求解：

（8）第八小题

求解：

$t^2 > 0$ 所以本题中函数只包含有原来函数在 $t \ge 0$ 的部分，也就是 $\delta \left( {t - 1} \right)$

$t^2 = 1$ 的根据有 $\pm 1$ ，所以在 $t = \pm 1$

由于现在面临的信号实际上是一个复合函数， $f_8 \left( t \right) = \delta \left[ {g\left( t \right) - 1} \right] = \delta \left( {t^2 - 1} \right)$ ，所以根据 狄拉克函数 复合函数特性， $\delta \left[ {g\left( x \right)} \right] = \sum\limits_{}^{} {{{\delta \left( {x - x_i } \right)} \over {\left| {g$

${1 \over 2}\delta \left( {t \pm 1} \right)$

（9）第九小题

求解：

$u\left( t \right)$

在最初给定的参考答案中，没有考虑到 u(t)的存在。后来经过班级的学生提醒，将上面的参考答案进行了修改。

1.4 从系统框图到方程

（1）第一小题

求解： 根据系统框图综合器，可知 $x\left( t \right) - y\left( t \right) - 4y$ 因此 $y$

（2）第二小题

求解： 根据系统框图中的综合器，可得 $x\left[ n \right] - {2 \over 3}y\left[ n \right] = {1 \over 3}y\left[ {n + 1} \right]$ 因此 $y\left[ n \right] + 2y\left[ {n - 1} \right] = 3x\left[ {n - 1} \right]$

（3）第三小题

求解： 设置两个综合器之间三个节点对应的中间变量为 $w$

$x\left( t \right) + 2w\left( t \right) - w$$y\left( t \right) = w\left( t \right) + 3w$

▲ 图1.4.1 带有中间变量的系统框图

$x\left( t \right) = w$$y\left( t \right) = w\left( t \right) + 3w$

  利用微分算子可以重新书写微分方程：
$x\left( t \right) = \left( {D^2 + D - 2} \right)w\left( t \right)$$y\left( t \right) = \left( {3D + 1} \right)w\left( t \right)$

$w\left( t \right)$ ：
${{x\left( t \right)} \over {y\left( t \right)}} = {{D^2 + D - 2} \over {3D + 1}}$
  所以 $y$

（4）第四小题

求解：

$w\left[ n \right],w\left[ {n - 1} \right],w\left[ {n - 2} \right]$ ，根据两个综合器可以获得$x\left[ n \right] - 2w\left[ {n - 2} \right] - w\left[ {n - 1} \right] = w\left[ n \right]$$y\left[ n \right] = 2w\left[ {n - 1} \right] + 5w\left[ {n - 2} \right]$

▲ 图1.4.2 设置中间变量的系统框图480

$x\left[ n \right] = w\left[ n \right] + w\left[ {n - 1} \right] + 2w\left[ {n - 2} \right]$$y\left[ n \right] = 2w\left[ {n - 1} \right] + 5w\left[ {n - 2} \right]$

$x\left[ n \right] = \left( {1 + D + 2D^2 } \right)w\left[ n \right]$$y\left[ n \right] = \left( {2D + 5D^2 } \right)w\left[ n \right]$

$w\left[ n \right]$ 消去，可得 ${{x\left[ n \right]} \over {y\left[ n \right]}} = {{1 + D + 2D^2 } \over {2D + 5D^2 }}$

$y\left[ n \right] + y\left[ {n - 1} \right] + 2y\left[ {n - 2} \right] = 2x\left[ {n - 1} \right] + 5x\left[ {n - 2} \right]$

（5）第五小题

求解：

$w\left( t \right),v\left( t \right)$ ，那么可以根据三个综合器获得$x\left( t \right) = {1 \over 2}w$$x\left( t \right) = v$$y\left( t \right) = w\left( t \right) + v\left( t \right)$

▲ 图1.4.3 补充了中间变量的系统框图

$x\left( t \right) = \left( {{1 \over 2}D + 4} \right)w\left( t \right)$$x\left( t \right) = \left( {D + 2} \right)v\left( t \right)$$y\left( t \right) = w\left( t \right) + v\left( t \right)$
  消去中间变量，可得 $y\left( t \right) = {{x\left( t \right)} \over {{1 \over 2}D + 4}} + {{x\left( t \right)} \over {D + 2}}$ 化简，可得 ${{y\left( t \right)} \over {x\left( t \right)}} = {{{3 \over 2}D + 6} \over {D^2 + 5D + 8}}$ 最后，再转换成微分方程 $y$

（6）第六小题

求解：

$w\left( t \right)$ ，根据两个综合器可以得到$x\left( t \right) - by$$w\left( t \right) - ay\left( t \right) = y$

▲ 图1.4.4 增加有中间变量的系统框图

$x\left( t \right) - bDy\left( t \right) = Dw\left( t \right)$$w\left( t \right) = \left( {D + a} \right)y\left( t \right)$

$x\left( t \right) = D\left( {D + a} \right)y\left( t \right) + bDy\left( t \right) = \left[ {D^2 + \left( {a + b} \right)D} \right]y\left( t \right)$ 再改写成微分方程 $y$

（7）第七小题

求解：

$w\left[ n \right]$ ，可以得到$x\left[ n \right] = w\left[ n \right] - {2 \over 3}w\left[ {n - 1} \right] + {1 \over 9}w\left[ {n - 2} \right]$$y\left[ n \right] = w\left[ n \right] - 6w\left[ {n - 1} \right] + 8w\left[ {n - 2} \right]$

▲ 图1.4.5 增加中间变量的系统框图

$y\left[ n \right] - {2 \over 3}y\left[ {n - 1} \right] + {1 \over 9}y\left[ {n - 2} \right] = x\left[ n \right] - 6x\left[ {n - 1} \right] + 8x\left[ {n - 2} \right]$

1.5 LTI系统响应

（1）第一小题

求解： 根据线性时不变系统的微分特性，可以知道在 $e_2 \left( t \right) = \delta \left( t \right)$ 系统的响应 $r_2 \left( t \right)$ 应该是 $e_1 \left( t \right) = u\left( t \right)$ 输入时系统响应 $r_1 \left( t \right)$ 的微分，即$r_2 \left( t \right) = {d \over {dt}}r_1 \left( t \right) = {d \over {dt}}\left[ {t \cdot e^{ - 2\alpha t} \cdot u\left( t \right)} \right]$$= e^{ - 2\alpha t} \cdot u\left( t \right) + \left( { - 2\alpha } \right)t \cdot e^{ - 2\alpha t} \cdot u\left( t \right) + \left. {t \cdot e^{ - 2\alpha t} } \right|_{t = 0} \cdot \delta \left( t \right)$$= \left( {1 - 2\alpha t} \right) \cdot e^{ - 2\alpha t} \cdot u\left( t \right)$

（2）第二小题

求解：

  （1） 对比 $x_2 \left( t \right)$ 的波形与 $x_1 \left( t \right)$ 的波形，可以知道 $x_2 \left( t \right) = x_1 \left( t \right) - x_1 \left( {t - 2} \right)$ 所以由 $x_2 \left( t \right)$ 所引起的系统零状态输出为 $y_2 \left( t \right) = y_1 \left( t \right) - y_1 \left( {t - 2} \right)$

▲ 图1.5.1 y2(t)的波形

  （2） 对比 $x_3 \left( t \right)$ 与 $x_1 \left( t \right)$ 的波形，可以知道 $x_3 \left( t \right) = x_1 \left( {t + 1} \right) + {1 \over 2}x_1 \left( t \right)$ ，所以由 $x_3 \left( t \right)$ 引起的系统的零状态输出 $y_3 \left( t \right) = y_1 \left( {t + 1} \right) + {1 \over 2}y_1 \left( t \right)$

  对应的波形为

▲ 图1.5.2 y3(t)的波形

1.6 系统的可逆性

（1）第一小题

求解：

  （1） 可逆系统。 逆系统为 $\hat r\left( t \right) = e\left( {t + 5} \right)$

  （2） 不可逆系统。 比如 $r_1 \left( t \right) = \sin \left( t \right),\,\,r_2 \left( t \right) = \sin \left( t \right) + 1$

  （3） 可逆系统。逆系统为 $\hat r\left( t \right) = e$

  （4） 可逆系统。 逆系统为 $\hat r\left( t \right) = e\left( {0.5t} \right)$

  （5） 不可逆系统。 对于 $r_1 \left[ n \right] = \delta \left[ n \right],r_2 \left[ n \right] = 0$

  （6） 不可逆系统。 对于 $r_1 \left( t \right) = \delta \left( t \right),\,\,r_2 \left( t \right) = \delta \left( {t - 1} \right)$

（2）第二小题

求解：

$r_1 \left( t \right) = \delta \left( {t + 0.5t_s } \right),r_2 \left( t \right) = \delta \left( {t - 0.5t_s } \right)$

  如果输入信号满足采样定理，即信号的最高频率小于采样频率 $f_s = 1/t_s$

（3）第三小题

求解：

  这个电路是可逆电路。下面给出了它对应的逆系统。

▲ 图1.6.1 RC低通滤波器的逆系统

  注意，上述电路最后还需要再经过一级的反向，才真正实现将原始信号进行恢复。

RC滤波器的逆系统

• 参考文献： Inverse Analog Filter:History, Progress and Unresolved Issues
• 相关讨论： Low Pass Filter Inverse

1.7 系统特性

（1）第一小题

求解：

  （1） 线性、时不变、因果；
  （2） 线性、时变、因果；
  （3） 非线性、时变、因果；
  （4） 线性、时变、非因果；
  （5） 线性、时变、非因果；
  （6） 非线性、时不变、因果；
  （7） 线性、时不变、因果；
  （8） 线性、时变、非因果；
  （9） 线性、时变、非因果；
  （10） 线性、时变、非因果；

1.8 串联系统

求解：

  根据系统1、系统2特性，可以知道系统2 的输出为：

  再根据系统3的特性，可以知道系统输出 $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] + {1 \over 4}x\left[ {n - 1} \right]$ 该系统为线性、时不变。

$y_1 \left( t \right) = x\left( {t/2} \right)$$y_2 \left( t \right) = x\left( t \right) + {1 \over 2}x\left( {t - 1} \right) + {1 \over 4}x\left( {t - 2} \right)$$y_3 \left( t \right) = x\left( {2t} \right)$
  系统的输入输出关系为 $y\left( t \right) = x\left( t \right) + {1 \over 2}x\left( {t - 0.5} \right) + {1 \over 4}x\left( {t - 1} \right)$

  如果将上述各子系统进行交换顺序，比如交换系统1和系统3， 则系统就会变成时变系统。

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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 信号的偶分量
• 图 信号的奇分量
• 图1.1.3 信号的偶分量
• 图1.1.4 信号的奇分量
• 图1.1.5 信号的偶分量
• 图1.1.6 信号的奇分量
• 图1.1.7 信号的偶分量
• 图1.1.8 信号的奇分量
• 图1.2.1 获得信号左边边的波形
• 图1.2.2 波形偶分量的 左边波形
• 图1.2.3 信号的偶分量
• 图1.2.4 信号本身波形
• 图1.4.1 带有中间变量的系统框图
• 图1.4.2 设置中间变量的系统框图480
• 图1.4.3 补充了中间变量的系统框图
• 图1.4.4 增加有中间变量的系统框图
• 图1.4.5 增加中间变量的系统框图
• 图1.5.1 y2(t)的波形
• 图1.5.2 y3(t)的波形
• 图1.6.1 RC低通滤波器的逆系统